以下为课件内提取的文本内容，仅供参考：

不等式的证明（二）

综合法

不等式证明（1）

a>b <=> b

a>b , b>c => a>c

a>b <=> a+c>b+c

a+b>c <=> a>c-b

a>b , c>d => a+c>b+d

a>b , c>0 => ac>bc a>b , c<0 => ac

a>b>0 , c>d>0 => ac>bd

a>b>0 =>an > bn (n∈N , n＞1）

对称性

传递性

可加性

移项法则

加法法则

可乘性

乘法法则

乘方法则

开方法则

⑴　倒数不等式—倒数法则：

若ab > 0 , 则 a > b

　　　　 a < b 　

　　 a < x < b 　　

简记：

1/a < 1/b

1/a > 1/b

1/b < 1/x < 1/a

“同号取倒反向”

⑵平方不等式——平方法则：

若 a , b > 0 , 则 a > b

b < x < a

若 a , b < 0 , 则 a > b

b < x < a

若 a > 0 , b < 0,

则 b < x < a

a2 > b2

b2< x2< a2

a2 < b2

a2 < x2 < b2

min(a2,b2)≤x2 < max(a2,b2)

练习1：

（1）判断下列命题的真假。

①a>b , c=d =>acn >bdn (n∈N) （ ）

②a/c > b/c => ac > bc （ ）

③a ac>bd （ ）

④a>b , ab<0 => 1/a<1/b 　　　　　　　　　　（ ）

⑤a+ca

⑥ （ ）

(2) 若a<1 则 ( )

(A) 1/a >1 (B) a2 <1 (C) a 3<1 (D) |a |<1

练习2.用下列符号(≤.≥.＜.＞)填写,并说明等号何时成立:

1. a≥b,c>d =>a+c___b+d

2. a≥b,c≥d =>a+c___b+d

3. a2___0

4. a2+b2___2ab

6.b/a+a/b___2 (a,b∈R+)

(当且仅当a=0时等号成立)

(当且仅当a=b时等号成立)

(当且仅当a=b时等号成立)

(当且仅当a=b时等号成立)

(当且仅当a=b且c=d时等号成立)

＞

≥

≥

≥

≥

≥

常用的定理和推论：

定理1.如果a,b∈R ,那么 a2+b2≥2ab

(当且仅当 a=b 时等号成立)

(当且仅当 a=b 时等号成立)

即 n 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.

结论: b/a+a/b≥2 (a,b∈R+)

(当且仅当 a=b 时等号成立)

例1.设a ,b ,c是不全相等的实数.求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca

证明:

∵a2+b2≥2ab　　　 b2 +c2≥2bc a2+c2≥2ac

又∵a,b,c是不全相等的实数

∴上面三式中总有一个不能取等号

∴三式相加得 2(a2+b2+c2 )>2ab+2bc+2ca

即: a2+b2+c2>ab+bc+ca

另证:

a2+b2+c2-ab-bc-ca=1/2[(a2+b2-2ab)+( b2 +c2-2bc)+( a2+c2-2ac)]

又∵a,b,c是不全相等的实数

∴ (a-c)2 +(b-c)2 +(c-a)2>0

∴ a2+b2+c2>ab+bc+ca

例3.设a,b,c是不全相等的正实数.求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc

课外作业:

P11,练习1,P15练习10.11.12.13