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专题讲座

高一复习

储 蓄

分期付款

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储蓄与人们的日常生活密切相关,它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。计算储蓄所得利息的基本公式是：

利息=本金×存期×利率

根据国家规定,个人储蓄存款利息应依法纳税,计算公式为：

应纳税额=利息全额×税率

其中的税率为20%.个人储蓄实际所得为：

本金+利息－应纳税额

常见的几种储蓄方法

一、整存整取定期储蓄

二、活期储蓄

三、分期储蓄

四、复利计息储蓄

分期付款问题

在日常生活中,一些商店为了促销,便于顾客购买一些售价较高的商品,在付款上较为灵活,可以一次性付款,也可以分期付款,分期付款中又有几种付款方案供选择,如下表所例：

整存整取定期储蓄

这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金及其利息的一种储蓄。中国人民银行在某段时间内规定的这种储蓄的年利率如下.

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例1、某人按整存整取定期储蓄方式存入银行5000元，存期 5 年。到期后可取出多少元?

解：5年到期时所得利息为

5000×5×2.88% =

820 (元)

应纳税

820 ×20% =

164 (元)

5656 (元)

5000+820－164 =

实际取出

看看公式

看看利率

返回

活期储蓄

这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计算利息时，每年按360天，每月按30天计算存期。

例2、某人今年十月一日存入银行500元，活期储蓄到年底。日利率为0.00275%，到期后可取出多少元?

解：由于存期是3个月共90天，到期利息是

500×90×0.00275% =

1.2375 (元)

应纳税

1.2375 ×20% =

0.2475 (元)

到期后可取出

500+1.2375－0.2475 =

500.99 (元)

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分期储蓄

这是指一种分期存入一次取出的储蓄方式。

例3、某人从一月起，每月第一天存入银行100元，到12月最后一天取出全部本金及其利息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱?

研究

答案

储蓄利率常识

储蓄利率常有定期利率和活期利率

定期利率又有年利率和月利率

年利率又依各年期长短各有不同

活期利率也即是日利率

储蓄利率不是固定不变的，它会因遇到利率调整而有所变化。

储户要随时注意利率调整情况。

一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率都是 p , 那么到第 n 期期末

本金共有：

______________

nA

由于每期利息 = 本金×期数×利率,那么各期的利息是

n

n－1

2

1

Apn

Ap(n－1)

Ap×2

Ap×1

成等差数列

一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率都是 p , 那么到第 n 期期末

本金共有：

______________

nA

全部利息是 ：

Sn = Ap + Ap×2 + …+ Ap(n－1) + Apn

=

=

Ap(1 + 2 + … + n )

n(n－1)Ap

一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率都是 p , 那么到第 n 期期末

本金共有：

______________

nA

全部利息是 ：

Sn =

n(n－1)Ap

________________

应纳税 ：

n(n－1)Ap×20% =

n(n－1)Ap

___________________________

实际取出 ：

nA +

n(n－1)Ap－

n(n－1)Ap

= A[ n + n(n + 1) p]

________________

即用分期储蓄方式存款,期满后实际取出公式为

当 A=

n=

p=

1210.30 （元）

实际取出 ：

100

12

0.165% 时

100(12 + 0.4×12×13×0.165% )

=

____________________

an= A[ n +0.4n(n + 1) p]

复利储蓄

复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。

我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄。

各期期利率如下表：( 期利率=期数×年利率 )

例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?

分析一般：设本金为a元，相应的期利率为p，到期本利和为y，存期为n

1期后本利和是：

2期后本利和是：

3期后本利和是：

n期后本利和是：

y1= a + a×p = a(1 + p)

y2= a(1 + p) + a(1 + p) p

y3= a(1 + p)3

yn = a(1 + p)n

= a(1 + p)2

……

例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?

全部利息是： a(1 + p)n － a

yn = a(1 + p)n

解：设本金为a元,相应的期利率为p,到期本利和为y,存期为n, n期后本利和是：

应纳税： [ a(1 + p)n － a] ×20%

实际取出： a(1 + p)n － [ a(1 + p)n － a] ×20%

= 0.8a(1 + p)n + 0.2 a

例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?

看看利率

计算公式 ： an = 0.8a(1 + p)n + 0.2a

据上表可知，采用5年定期的存款方式最合算

1975.45

2071.37

2096.63

1992.36

思考1：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行100元，连存15年后取出。问：他能取出多少钱?

(设1年定期年利率是2.25%)

第1次存入到期后本利和是：

第2次存入到期后本利和是：

第3次存入到期后本利和是：

第15次存入到期后本利和是：

……

……

100×(1+2.25%)1

100×(1+2.25%)13

100×(1+2.25%)14

100×(1+2.25%)15

15年后本利和总共是：

成等比数列

应纳税：

实际取出：

100×1.0225×(1.022515－1) ÷0.0225

= 1800.54（元）

(1800.54－100×15) ×20% = 60.11（元）

1800.54－60.11 = 1740.43（元）

思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%)

思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要连存多少年?

思考2答案 每年至少要存进 5746元

思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%)

思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要连存多少年?

思考3答案 至少要连存17年

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顾客先不付款将5000元的商品买走,也就是先欠了商家5000元款,以后的分期付款也就是还款,故应有：

所还款+利息 = 欠款+利息

设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1付款是

还款带利息共有

1 2 3 5 6 7 9 10 11

4

8

12

X

X

X

还款

X(1+0.8%)

X(1+0.8%)2

X(1+0.8%)3

X(1+0.8%)4

X(1+0.8%)

X(1+0.8%)8

X(1+0.8%)8

……

……

生息

X(1+0.8%)4

X

+

+

顾客先不付款将5000元的商品买走,也就是先欠了商家5000元款,以后的分期付款也就是还款,故应有：

所还款+利息 = 欠款+利息

设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1付款是

还款带利息共有

1 2 3 5 6 7 9 10 11

4

8

12

X

X

X

还款

X(1+0.8%)

X(1+0.8%)2

X(1+0.8%)3

X(1+0.8%)4

X(1+0.8%)

X(1+0.8%)8

X(1+0.8%)8

……

……

生息

X(1+0.8%)4

X

5000×(1+0.8%)12

+

+

故有方程 X(1+0.8%)8 + X(1+0.8%)4 + X = 5000×(1+0.8)12

解方程得: X =

即每次付款 元 , 3次共付款 元

类似采用方案2付款有方程

X(1+0.8%)10+X(1+0.8%)8+…+X(1+0.8%)2+X=5000×(1+0.8%)12

解得X= 6次共付款 元

用方案3付款时,有类似形的方程,可得到每次付款额是

438.6元 , 12次共付款 5263 元.

1775.8

1775.8

5327

880.8

5285

建设银行开办有住房贷款业务，年利率是10%，按复利计息。青年教师王某从银行贷款购得一套10万元的住房，首付房款2万元，余下房款5年内付清。小王计划每年年底等额还钱，那么他每次需准备多少钱?若他每年年初还钱需准备多少钱?(结果保留到个位)

练一练

练一练

练一练

练一练

练一练

练一练

练一练

练一练

练一练

练一练

每年底要还21104元

每年初要还19186元

分期付款或贷款定期还款与复利储蓄的计算有着相同之处,这就是： 复利储蓄在计算本利和时,与分期付款是结构一样的运算式

即

或

年头付款

年尾付款

其中 r = 1+p

这都要用到数列的知识来解决问题

制 作

杨 光 军

新疆石河子一四三团花园高级中学

Email—junyangg@163.com

2002.12.22