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数学归纳法

（一）

请问：?以上四个结论正确吗？为什么?

?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点

问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N )

?

?1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。

?共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。

?

一、概念

1、归纳法：

对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，

归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。

?用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。

2、数学归纳法：

我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况

有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归

纳法又不可靠，怎么办？

----用数学归纳法

例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.

?

应用一：证明恒等式

1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为

归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能

否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”

称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，

第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没

有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。

2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。

3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。

由以上可知，用数学归纳法需注意：

例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)

例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…

Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明：

证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边= =1=S1，等式成立。

2）假设当n=k(k∈N )时，有：

Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+ …+22+12 ，

当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2+ …+22+12

=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2

=Sk+2k2+2k+1

= + 2k2+2k+1

= (2k3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]

= (k+1)(2k2+4k+2+1)= (k+1)[2(k+1)2+1],

∴ 当n=k+1时公式仍成立。

由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 。

?

?

例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…

Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明：

当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+ k2+ …+22+12

=[12+22+…+k2+ (k-1)2 …+22+12] +(k+1)2+ k2

=Sk+2k2+2k+1

∴ 当n=k+1时公式仍成立。

练习：

?

1+a+a2

C

1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；

2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中

n=k+1时应增加的式子；

3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个

“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二

是“凑”目标式。

小结数学归纳法的概念及应用（一）：