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斜 线 在 平 面 上 的 射 影 直 线 和 平 面 所 成 的 角

制作：杨同官

自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；

这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。

斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。

A

C

B

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；

垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。

斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。

垂线段比任何一条斜线段都短

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？

OB=OC ? AB=AC

OB＞OC ? AB ＞AC

AB=AC ? OB=OC

AB ＞AC ? OB＞OC

射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长

相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长

定理 从平面外一

点向这个平面所引的

垂线段和斜线段中，

（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长

（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长

（3）垂线段比任何一条斜线段都短

1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的 心。

练习

外

练习

2.判断下列说法是否正确

（1）两条平行直线在同一平面内的射影

一定是平行直线 （ ）

（2）两条相交直线在同一平面内的射影

一定是相交直线 （ ）

（3）两条异面直线在同一平面内的射影

要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）

（4）若斜线段长相等，则它们在平面内

的射影长也相等 （ ）

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；

一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角。

直线和平面所成角的范围是[0?，90?]。

l是平面? 的斜线，A是l上任意一点，AB是平面? 的垂线，B是垂足，OB是斜线l的射影，θ是斜线l与平面? 所成的角.

θ与∠AOD的大小关系如何？

C

θ与∠AOD的大小关系如何？

在Rt△AOB中，

在Rt △AOC中，

∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD

∴θ＜∠AOD

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。

C

最小角原理

例题

例1.如图，AO是平面π的斜线，AB ⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=? ，∠BOD= ? ，∠AOD=? ，求证：cos ? =cos ? cos ?

A

B

O

C

练习

3.AO与平面?斜交，O为斜足，AO与平面?成?角，B是A在?上的射影,OD是?内的直线，∠BOD=30?，∠AOD=60?，则

sin ? = 。

练习

5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？

4.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，求斜线和平面β所成的角。

如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。

如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？

例2.线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米，N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的余弦值。

O

∠MOM'就是MN与β所成的角

作业

课本P33第9、10、11题

A

B

HC与FG在平面ABCD上的射影分别是什么？

FG与EA在平面ABCD上的射影分别是什么？

BC与A点

DC与BC

HC与EF在平面ABCD上的射影分别是什么？

DC与AB

A

B

O

N

M

从平面内一点发出的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。

从平面外不同点发出的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。