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中山

等差数列

教学目的： 1、理解等差数列的概念。

2、掌握等差数列的通项公式，并会根据他进行简单

的运算

教学重点： 等差数列的概念及通项公式，通项公式的应用。

教学难点： 理解等差数列的概念。

关 键： 讲清“等差”的特点，强调每一项于前一项的差是同

一个常数。

教学方法：启发式， 讲练结合。

教学过程： 一、提问导入新课。

Ⅰ、 观察与思考 ：下面的几个数列：

Ⅱ、问题： 从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？

分析：后一项与前一项的差的特点是：

Ⅲ、归纳：这些数列

是常数1

是常数-3

是常数 1/10

从第2项起它们的后一项与前 一项的差都是同一个常数。

这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。

等差数列的首项用字母 a1 表示。

一、等差数列的定义：

例 1： 观察下列数列是否是等差数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。

解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与

前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项

起后项与前项的差是同一个常数。

所以, 它不是等差数列。

（2）、不是。理由同（1）

（3）、是。 它符合等差数列的定义。

（4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ：

1，2 ， 3 ，4 ，5 ，‥‥是常数，但不是同一常数。

所以不是。

1、等差数列要求从第2项起，后一项与

前一项作差。 不能颠倒。

2、作差的结果要求是同一个常数。

可以是整数，也可以是０和负数。

二、等差数列的通项公式：

等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d ，如：

那麽，则由定义得：

a2-a1=d (1)

a3-a2=d (2)

a4-a3=d (3)

a5-a4=d (4)

、、、、、

an-a n-1=d

分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_____个式子相加，则有：

n-1

等号左边为：an-a1 ,

等号右边为：(n-1)d

所以： an-a1=(n-1)d ,即

an=a1+(n-1)d

当n =1时，上式两边都等于 a1 。 ∴ n∈N*，公式成立。

∴ 等差数列的通项公式是:

an = a1+(n-1)d

三、通项公式的应用：

例 2：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它

的通项公式。

（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。

（3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥

的项 ？如果是，是第几项？

等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。

分析：知道a1 , d ，求an 。代入通项公式。

∵ a1=3 , d=2

∴ an=a1+(n-1)d

=3+(n-1) ×2

=2n-1

解：

（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，

求它 的通项公式。

（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项。

分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20

解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20

由an=a1+(n-1)d 得

∴ a20 =a1+(n-1)d

=10+(20-1)×(-2)

= -28

解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4

∴ an= -5+(n-1) ×(-4)

= -4n-1

∵ -401= -4n-1

∴n=100

∴ -401是该数列的第100项。

分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 –401代入，然后看是否存在正整数n 。

（3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥

的项 ？如果是，是第几项？

解： 由题意可得

a1+5d=12 (1)

﹛

a1+17d=36 (2)

∴ d = 2 a1 =2

∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n

此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。

例3： 在等差数列{an}中 ， 已知a6=12 ，a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项an 。

分析： 此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36 , n=18分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。

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1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并且差是 同 一常数。 像例1中（1）、（2）小题只能说它们从第2项起、 从第3项起是等差数列，而它们本身不是。

2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。

四、小结：

这节课主要讲了以下两个问题：

1、（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，‥‥的第4项和第10项。

（2）、100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，‥‥的项？

如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。

（3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，‥‥的项？

如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。

2、在等差数列{an}中，

（1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。

（2）、已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。

解： （1）、∵ a1=3 ，

d=7-3= 4

∴ an=3+4（n-1）

= 4n-1

∴ a4=4×4-1=15 ，

a10=4×10 –1=39

（2）、∵ a1=2 ，

d=9-2=7

∴ an=2+7（n-1)

= 7n-5

∵ 100=7n-5

∴ n =15

∴ 100是该数列的第15项。

（3）、∵ a1=0 ，

d= -3.5 -0

= -3.5

∴ an=0-3.5（n-1）

= -3.5n+3.5

∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解

∴ -20不是该数列的项。

解： （1）由题意得 a1+3d= 10 ①

{

a1+6d=19 ②

解得：

d=3 , a1=1 。

（2）由题意得 a1+2d= 9 ①

{

a1+8d=3 ②

解得：

d= -1 , a1=11 。

∴ an=11-1（n-1）=12-n

∴ a12= 12-12 =0

1、已知等差数列第m项是am ，公差是 d ，求an 。

2、已知等差数列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5…… , d是公差

那麽

(1)、 a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，………是什麽数列？

(2)、 a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，………是什麽数列？

(1)、练习：P117 1 、2

(2)、作业：P118 1 、 2