第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U=R，A=
，则右

图中阴影部分表示的集合为 ( )

A．
B.
C.
D.

2.若
，
，则
（　　）．

A．
B．0 C．1 D．2

3.若函数y=
的图象经过（0，-1），则y=
的反函数图象经过点( )

A．（4，一1） B．（-4,- 1） C．（一1,-4） D．（1,-4）

4. 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）

A．（-
,-1） B．（-1,-
） C．（-5,-3） D．（-2,-
）

5.已知映射
,其中
，对应法则
若对实数
，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是 ( ）

A．
B．
C．
D．

6.定义运算
若函数
,则
的值域是( )

A．
B．
C．
D．

7.求值：
=（ ）

A．3 B． 2 C． 1 D．0

8.已知函数
（其中
）的图象如下左图所示，则函数
的图象是 （ ）

9.已知函数
是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数
，不等式

恒成立，则不等式
的解集为( )

A．
B．
　　　C．
　　D．

10.对于函数
，存在一个正数
，使得
的定义域和值域相同，则非零实数的值为( )

A． 2 B．-2 C．-4 D．4

11. 设
为实数，且满足：
，

，则
( )

A．2014 B．1002 C． 4026 D． 4028

12.设函数
，若关于的方程

恰有5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5则f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)等于（ ）

A． 3 B．
? ?? C．
? D．3

第II卷

本卷包括填空题和解答题两部分，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知集合
，
，则
（

）______．

14.奇函数
的表达式为

15.设函数
若函数
在区间
上单调递增，则实数的取值范围是

16.问题“求方程
的解”有如下的思路：方程
可变为
，考察函数
可知
，且函数
在上单调递减，所以原方程有唯一解
.仿照此解法可得到不等式：
的解集为

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. （本小题满分10分）

设函数
，
.

（1）解方程：
；

（2）令
，求值:
.

18. （本小题满分12分）

某渔场鱼群的最大养殖量为吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量要小于，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量（吨）和实际养殖量（吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数
）。

（1）写出与的函数关系式，并指出定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值.

19. （本小题满分12分）

已知函数
是定义在上的偶函数，且当

时，
．现已画出函数
在轴左

侧的图象，如图所示，并根据图象：

（1）写出函数
的增区间；

（2）写出函数
的解析式；

（3）若函数
，求函数
的最小值.

20. （本小题满分12分）

已知二次函数
满足：对任意实数，都有
，且当
时，有
成立.

证明：
； （2）若
，求
的表达式；

（3）在（2）的条件下，设
，
，若
图像上的点都位于直线
的上方，求实数的取值范围.

21. （本小题满分12分）

已知
且
，函数
，
，记

（1）求函数
的零点；

（2）若关于的方程
在区间
内仅有一解，求实数的取值范围.

22. （本小题满分12分）

设函数
，
是定义域为R上的奇函数．

（1）求
的值，并证明当
时，函数
是R上的增函数；

（2）已知
，函数
，
，求
的值域；

（3）若
，试问是否存在正整数
，使得
对
恒成立？若存在，请求出所有的正整数
；若不存在，请说明理由．

2014—2015学年度上学期期中考试高一年级

数学科试卷答案

三、解答题

17. （1）
即：
，解得
，
5分

（2） 因为
，

所以，
10分

18. （1）空闲率为
,由已知得：
． 6分

（2）
，所以当
时，
．12分

19. 试题解析:（1）
在区间
，
上单调递增. 2分

（2）设
，则
.

函数
是定义在上的偶函数，且当
时，

6分

（3）
，对称轴方程为：
，

当
时，
为最小；

当
时，
为最小

当
时，
为最小.

综上，有：
=
． 12 分

(1)证明：有条件知，
恒成立.

又
，所以
. 4分

(2)
,所以
，

又
恒成立，因为
，

得

即
. 8分

(3)
在
恒成立

多种方式，答案是
12分

21. （1）解：（1）

（
且
）

，解得
，

所以函数
的定义域为
2分

令

，则
（*）方程变为

，
，即

解得
，
3分

经检验
是（*）的增根，所以方程（*）的解为
，

所以函数
的零点为
， 4分

∴①当
时，由（2）知，函数F（x）在
上是增函数

∴
∴只需
解得：
或

∴②当
时，由（2）知，函数F（x）在
上是减函数

∴
∴只需
解得：
10分

综上所述，当
时：
；当
时，
或
（12分）

22. 解：（1）
是定义域为R上的奇函数，
，得
．

此时，
，
，即
是R上的奇函数．

设
，则
，

，
，
，
在R上为增函数． 4分

（2）
，即
，
或
（舍去），

令
，由（1）知
在[1，2]上为增函数，∴
，

，

当
时，
有最大值
；当
时，
有最小值
，

∴
的值域
． 8分

（3）
=
，
，

假设存在满足条件的正整数
，则
，

①当
时，
．

②当
时，
，则
，令
，则
，易证
在
上是增函数，∴
． 10分