南昌市第三中学2012-2013学年度下学期期中考试

高二数学（理）试卷

命题：黄云昭 审题：张金生

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1．设
是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数
为 （ ）

A．
B。
C。
D。

2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为( 　 )

A. B. C. D.

3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　 　)

A.　　　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋

4．若函数f(x)＝x2－2x－4lnx，则该函数的增区间为(　 　)

A．(0，＋∞)　　　 　B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)

5．(ex＋2x)dx等于(　　)

A．1　　　　 B．e－1 C．e D．e＋1

6、若函数
的图象的顶点在第四象限,则函数
的图象是( )

7．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是(　　)

A．(0,6] B．[6，＋∞) C．[1＋，＋∞) D．(0,1＋]

8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4

9．若函数
，则
的值为（　 ）

A.
B.
C.
D.

10、已知
是定义在
上的奇函数，且当x<0时不等式
成立，若
，

，则
大小关系是（ ）

A．
B．c > b > a C．
D．c > a >b

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．若f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f ′(2)x＋3，则f(x)dx＝_______________.

12．曲线y＝x2－3x＋2lnx的切线中，斜率最小的切线方程为________．

13．函数y＝x＋2cosx在区间[0，]上的最大值是________．

14．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有________．

15、若函数y=
在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，则a的取值范围是______________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16（本小题满分12分）计算（1）求积分值：(3x2＋4x3)dx

（2）求函数y＝＋.的导数

17．（本小题满分12分）求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．

18．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)函数y＝f(x)的图像在x＝4处的切线的斜率为，若函数g(x)＝x3＋x2[f′(x)＋]在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.

20．（本小题满分13分）如图，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O，A，直线x＝t(0

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；

(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ln(x＋1)－.

(1)若函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，求正实数a的取值范围．

(2)当a＝1时，求f(x)在[－，1]上的最大值和最小值；

(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋

南昌市第三中学2012-2013学年度下学期期中考试高二数学（理）答卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题（每小题5分，共25分）

11、 . 12、 . 13、 .

14、 _. 15、_______________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16（本小题满分12分）计算（1）求积分值：(3x2＋4x3)dx

（2）求函数y＝＋.的导数

17．（本小题满分12分）求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．

18．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)函数y＝f(x)的图像在x＝4处的切线的斜率为，若函数g(x)＝x3＋x2[f′(x)＋]在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.

20．（本小题满分13分）如图，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O，A，直线x＝t(0

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；

(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ln(x＋1)－.

(1)若函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，求正实数a的取值范围．

(2)当a＝1时，求f(x)在[－，1]上的最大值和最小值；

(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋

高二年级期中考试理科数学试卷答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1．设
是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数
为 （ D ）

A．
B。
C。
D。

2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为(　C )

A. B. C. D.

3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　D　)

A.　　　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋

4．若函数f(x)＝x2－2x－4lnx，则该函数的增区间为( C　)

A．(0，＋∞)　　　 　B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)

5．(ex＋2x)dx等于(　C　)

A．1　　　　 B．e－1 C．e D．e＋1

6、若函数
的图象的顶点在第四象限,则函数
的图象是( A )

7．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是(　B　)

A．(0,6] B．[6，＋∞) C．[1＋，＋∞) D．(0,1＋]

8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　C　)

A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4

9．若函数
，则
的值为（　B ）

A.
B.
C.
D.

10、已知
是定义在
上的奇函数，且当x<0时不等式
成立，若
，

，则
大小关系是（ D ）

A．
B．c > b > a C．
D．c > a >b

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．若f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f ′(2)x＋3，则f(x)dx＝__________. －18

12．曲线y＝x2－3x＋2lnx的切线中，斜率最小的切线方程为________． x－y－3＝0

13．函数y＝x＋2cosx在区间[0，]上的最大值是________． ＋

14．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有________． 　f(2n)>(n≥2，n∈N*)

15、若函数y=
在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，则a的取值范围是______________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16（本小题满分12分）计算（1）求积分值：(3x2＋4x3)dx

（2）求函数y＝＋.的导数

解析:　(1)(3x2＋4x3)dx＝3x2dx＋4x3dx＝x3|＋x4|＝24.

(2) y＝＋＝＝， ∴y′＝()′＝＝.

17．（本小题满分12分）求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．

【解析】　在同一直角坐标系下作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图像，所求面积为图中阴影部分的面积．

解方程组得交点(1,1)， 解方程组得交点(3,9)，

因此所围图形的面积为：S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx＝2xdx＋(3x－x2)dx

＝x2x2－＝1＋(×32－×33)－(×12－×13)＝.

18．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)函数y＝f(x)的图像在x＝4处的切线的斜率为，若函数g(x)＝x3＋x2[f′(x)＋]在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围．

解析　(1)f′(x)＝(x>0)，

当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，＋∞)；

当a<0时，f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；

当a＝0时，f(x)不是单调函数．

(2)由f′(4)＝－＝，得a＝－2，则f(x)＝－2lnx＋2x－3，

∴g(x)＝x3＋(＋2)x2－2x， ∴g′(x)＝x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g′(0)＝－2<0，

∴ ∴ 故m的取值范围是(－，－3)．

19．（本小题满分12分）已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.

【证明】　(反证法)假设三式都大于， 即∵00，

∴≥>，∴>.① 同理>，② >，③ 由①＋②＋③得＋＋>，∴>，矛盾，∴假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于是错误的，∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.

20．（本小题满分13分）如图，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O，A，直线x＝t(0

(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；

(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．

解析　(1)由，解得或.

∴O(0,0)，A(a，a2)．又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)，

∴S＝(－x2＋2ax)dx－t×t2＋(－t2＋2at－t2)×(a－t)

＝(－x3＋ax2)|－t3＋(－t2＋at)×(a－t)＝－t3＋at2－t3＋t3－2at2＋a2t＝t3－at2＋a2t.

∴S＝f(t)＝t3－at2＋a2t(0

(2)f′(t)＝t2－2at＋a2， 令f′(t)＝0，即t2－2at＋a2＝0. 解得t＝(2－)a或t＝(2＋)a.

∵01，∴t＝(2＋)a应舍去．

若(2－)a≥1，即a≥＝时，∵0

.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋.

若(2－)a<1，即10.当(2－)a

∴f(t)在区间(0，(2－)a]上单调递增，在区间((2－)a,1]上单调递减．

∴f(t)的最大值是f((2－)a)＝[(2－)a]3－a[(2－)a]2＋a2(2－)a＝a3.

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ln(x＋1)－.

(1)若函数f(x)在[0，＋∞)内为增函数，求正实数a的取值范围．

(2)当a＝1时，求f(x)在[－，1]上的最大值和最小值；

(3)试利用(1)的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有＋＋＋…＋

解析　(1)∵f(x)＝ln(x＋1)－， ∴f′(x)＝