2012—2013学年（下）高二级第二学段模块考试

理科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。





…



…











…



…







参考公式：

一般地，若离散型随机变量
的分布列为

则
.

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若复数
是纯虚数（
是虚数单位），则
的值为（*）

A．
B．
C．
D．

2．随机变量
服从正态分布
，若
，则
（*）

A．
B．
C．
D．

3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，

不同的排法共有（*）

A．1440种 B．960种

C．720种 D．480种

4．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的

顶点，则在原来的正方体中（*）

A．
B．
与
相交

C．
D．
与
所成的角为

5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（*）

A．正三角形的顶点 B．正三角形的中心

C．正三角形各边的中点 D．无法确定

6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（*）

A．
B．
C．
D．

7．已知双曲线
，两渐近线的夹角为
，则双曲线的离心率为（*）

A．
B．
C．
D．
或

8．设函数
，(
是互不相等的常数)，则

等于（*）

A．
B．
C．
D．

第二部分 非选择题（110分）

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

（一）必做题（9～13题）

9．曲线
在点
的切线方程是 * .

ξ

－1

0

1



P

a

b





10．随机变量ξ的分布列如右图，其中a，b，
成等差数列，

则
* .

11．
的展开式中常数项的值是 * .（用数字作答）

12．
表示不超过
的最大整数.

那么
* .

13．已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则△
的面积为 * .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题. 请先用2B铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑，然后把答案填在横线上.）

14．(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，已知点

和
,则
、
两点间的距离是 * .

15．(几何证明选讲选做题) 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝ * .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

先后掷两颗均匀的骰子，问

（1）至少有一颗是6点的概率是多少？

（2）当第一颗骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

17．（本小题满分14分）

甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为
，乙投篮一次命中的概率为
．每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响．

（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；

（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得
分，求乙所得分数
的概率分布和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，在圆锥
中，已知
，⊙O的直径
，
是
的中点，
为
的中点．

（1）证明：平面
平面
；

（2）求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分12分）

数列
满足
．

（1）计算
，
，
，
，由此猜想通项公式
，并用数学归纳法证明此猜想；

（2）若数列
满足
，求证：
．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
与直线
相交于
两点．

（1）若椭圆的半焦距
，直线
与
围成的矩形
的面积为8，

求椭圆的方程；

（2）若
（
为坐标原点），求证：
；

（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率
满足
，求椭圆长轴长的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（2）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（3）试证明：
(
).

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答案及说明

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

A

D

B

D

D

A



二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9．
10．
11．
12．

13．
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.

16．（本小题满分12分）

解：（1）设
为掷第一颗骰子得的点数，
为掷第二颗骰子得的点数，则所有可能的事件与点
建立对应如图，共有
种不同情况，它们是等可能的． …………2分

设事件A为“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况， …………3分

∴P(A)＝. …………5分

（2）设事件B为“第一颗骰子的点数为3或6”，事件C为“两颗骰子的点数之和大于8”，由图可知

则
，
…………9分

…………12分

17．（本小题满分14分）

解：（1）设“甲至多命中1个球””为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，……1分

由题意得，

…………5分

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为

…………6分

（2）乙所得分数
的可能取值为
， …………7分

则
，
，
，

，
…………11分

分布列如下：



0

4

8

12



P













 …………13分

…………14分

18．（本小题满分14分）

解法1：（1）连结
，因为
，
是
中点，所以

又
底面⊙O，

底面⊙O，所以
， …………2分

因为
是平面
内的两条相交直线，所以
平面
…………4分

而
平面
，所以平面

平面
. …………6分

（2）在平面
中，过
作
于
，

由（1）知，平面
平面

平面
=

所以
平面
，又
面
，所以

在平面
中，过
作
于
，连接
，

平面
，

从而
，故
为二面角
的平面角 …………9分

在

在

在

在

所以
…………13分

故二面角
的余弦值为
…………14分

解法2：如图所示，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴，
轴建立空间直角坐标系，则

，

…………2分

（1）设
是平面
的一个法向量，

则由
，得

所以
，取
得
………4分

设
是平面
的一个法向量，

则由
，得

所以
，取
，得
…………6分

因为
，所以

从而平面
平面
…………8分

（2）因为
轴
平面
，所以平面
的一个法向量为

由（1）知，平面
的一个法向量为

设向量
和
的夹角为
，则
…………13分

所以二面角
的余弦值为
…………14分

19．（本小题满分12分）

解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. …………1分

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. …………2分

由此猜想an＝(n∈N*)． …………4分

现用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时， a1＝＝1，结论成立．

②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，

∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，故当n＝k＋1时，结论成立，

由①②知猜想an＝(n∈N*)成立． …………8分

(2)由(1)知，
，
． …………9分

解法1：当
时，

………10分

． ………12分

解法2：当
时，
，

………10分

． ………12分

解法3： 当
时，
…………10分