命题：邓礼咸 张新 审核：曾昌涛 打印：张新 校对：邓礼咸 张新

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．“
”是“
”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知点
在
平面上的射影是点
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 方程
表示的曲线是（ ）

A．焦点在
轴上的双曲线 B．焦点在
轴上的椭圆

C．焦点在
轴上的双曲线 D．焦点在
轴上的椭圆

4．已知
、
是两个命题，若“
”是真命题，则（ ）

A．p、q都是假命题 B． p、q都是真命题

C．p是假命题且q是真命题 D．p是真命题且q是假命题

5. 若
、
、
是互不相同的空间直线，
、
是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为
的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．正方体
中直线
与平面
所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
是双曲线左支上与
不共线的任意一点，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知圆
，点
及点
，从
点观察
点，要使视线不被圆
挡住，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．椭圆
的两个焦点是
，
为椭圆上与
不共线的任意一点，
为
的内心，延长
交线段
于点
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．）

11．抛物线
，则它的焦点坐标为 .

12．已知两条直线
和
相互平行，则
.

13．若椭圆
的离心率为
，则双曲
线
的离心率为 .

14．设变量
满足约束条件
，则
的最小值为 .

15．点
在动直线

上的射影为
，已知点
，则线段
长度的最大值是 .

三、解答题（本大题共6小题,共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分13分）

三角形的三个顶点是
．

（I）求
边上的中线所在直线的方程；

（II）求
边的垂直平分线的方程．

17．（本题满分13分）

设方程
表示一个圆．

（I）求
的取值范围；

（II）求圆心的轨迹方程．

18.（本小题满分13分）

如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（I）求证：
平面
；

（II）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）已知抛物线
的焦点为
，
是抛物线上横坐标为
、且位于
轴上方的点，
到抛物线准线的距离等于
．

（I）求抛物线的方程；

（II）已知
(
)是
轴上一动点，
为坐标原点，过点
且倾斜角为
的一条直线

与抛物线相交于不同的
两点，求
的取值范围．

20．（本题满分12分）

如图，直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面相互垂直，
．

（I）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（II）线段
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求
出
的值；若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知点
是圆
上任意一点，点
与点
关于原点对称，线段
的中垂线与
交于
点．

（I）求点
的轨迹
的方程；

（II）设轨迹
与
轴的两个左右交点分别为
，点
是轨迹
上异于
的任意一点，
轴，
为垂足，延长
到点
使得
，连结
延长交过
且垂直于
轴的直线
交于点
，
为
的中点．试判断直线
与以
为直径的圆
的位置关系．

重庆八中2013---2014学年度（上）期末考试高二年级

数学试题
（理科）答案

一．选择题．

题号

1

2

3

4

5

6[来源:学科网]

7

8

9

10



答案

B

C

C

A

D

B

C

A

D

A



10．简解：

解法一：如图所示，设点
,
的内切圆半径为
，则有：

又

所以
，
，
，故选A项。

【或
】

解法二：此题的求解还可以采用特殊化的思想，即不妨令
为椭圆与
轴的交点，可轻而易举解决问题。

二．填空题．

11．
　12．
或
　　 13．
14．
15．

15．简解：动直线

，即

所以动直线过
定点
，且
，则有动点
在以
为直径，点

为圆心，半径为
的圆上，所以
.

三．解答题．

16．解：（Ⅰ）由已知得，BC边中点E的坐标是（3，5）. 又A（4，0），[来源:学&科&网]

所以直线AE的方程为
，

即BC边上中线所在的直线方程为
. …………………….7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，BC边所在的直线的斜率
，[来源:学科网]

所以BC边的垂直平分线的斜率为
，

由（Ⅰ）得，BC边中点E的坐标是
（3，5），

所以BC边的垂直平分线的方程是
，

即
. …………………….13分

17．解：（Ⅰ）由
或配方得：

，

化简得：
，解得
.

所以m的取值范围是（
，1） …………………………………….7分

（Ⅱ）设圆心C（x，y），则

消去m得，
.

因为
，所以
.

故圆心的轨迹方程为
（
）. ………………………….13分

18
.解法一【几何法】：（Ⅰ）证明：连结OC

在
中，由已知可得
而

即

平面
………………………….6分

（Ⅱ）解： 作
于
，连

由（1）知，
故

,
是二面角
的平面角，

易知
,
，
。

即所求二面角
的余弦值为
…………
……………….13分

解法二【坐标法】：以
为原点，建立空间直角坐标系
如图所示，

则

,

（Ⅰ）则有

所以
，则有
，

又
，
平面
………………………….6分

（Ⅱ）设平面
的法向量为
,则
,

由
，则有：

令
得
是平面
的一个法向量,

又
是
平面的一个法向量，

所以
,又

所以二面角
的二面角
等于
，
.

即所求二面角
的余弦值为
………………………….13分

[来源:学科网]

19.解：（Ⅰ）抛物线
的准线为
，于是
，所以

∴抛物线方程为
. ………………….5分

（Ⅱ）过点
且倾斜角为

的直线
:
，令点
，则：

联立
，消元得

20. 解：（Ⅰ）因为平面
平面
，且