2014.04

本试卷考试时间为120分钟，总分为160分

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，总分70分）

1. 命题“

”的否定是“ ”．

2. 设复数
（为虚数单位），则的虚部是 ．

3. 观察下列不等式：1＞
，1+
+
＞1，1+
+
+…+
＞
，1+
+
+…+
＞2，1+
+
+…+
＞
，…，由此猜测第n个不等式为 　 　（n∈N*）．

4. 函数
的定义域是　 　．

5. 幂函数 f（x）=xα（α∈R） 过点
，则 f（4）=　 　．

6. 已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=1+2x，则当x＞0时，f（x）=　 　．

7. 设f (x)＝，则f [ f ()]＝

8. 已知集合
，则实数a的取值范围是

9. 若函数
为区间[﹣1，1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值是　　．

10. 已知偶函数f（x）在[0，∞）上是增函数，则不等式
的解集是　 　．

11. 在平面直角坐标系中，设三角形
的顶点分别为
，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设
均为非零实数，直线
分别交
于点
，一同学已正确算的
的方程：
，请你求
的方程： ( )

12. 定义在R上的函数f（x）=﹣x﹣x3，设x1+x2≤0，下列不等式中正确的序号有　 ．

①f（x1）f（﹣x1）≤0　

②f（x2）f（﹣x2）＞0

③f（x1）+f（x2）≤f（﹣x1）+f（﹣x2）　

④f（x1）+f（x2）≥f（﹣x1）+f（﹣x2）

13.数
（K为给定常数），已知函数
，若对于任意的
，恒有
，则实数K的取值范围为 ．

14. 不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为　 　．

二、解答题（总分90分）

15.（14分） 已知命题
，命题
。

（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m=5，“
”为真命题，“
”为假命题，求实数x的取值范围。

16. （14分）已知函数
，
．

（1）若
，求证：函数
是上的奇函数；

（2）若函数
在区间
上没有零点，求实数的取值范围．

17. （15分）已知关于x的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b．

（1）求实数a，b的值．

（2）若复数z满足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值．

18. （15分）设函数
的定义域为E，值域为F．

（1）若E={1， 2}，判断实数λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣
与集合F的关系；

（2）若E={1，2，a}，F={0，
}，求实数a的值．

（3）若
，F=[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．

19. （16分）定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有
．

（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．

（2）若
对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

20. （16分）已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若
时，关于的方程
有唯一解，求的值；

（3）当
时，证明: 对一切
，都有
成立．

高二数学阶段测试答案

1.

，
2. -1 3. 1+
+
+…+
＞
　

4. {
} 5.　2　 6. 1﹣2x 7.

8.
9. 1 10.　{x|
} 11.

12.①④ 13.
14. [﹣8，4]　

15.解：（1）p是q的充分条件，

则实数m的取值范围为

（2）

16.解：（1 ）定义域为关于原点对称．

因为
，

所以函数
是定义在上的奇函数

（2）

是实数集上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数
的图象不间断，在区间
恰有一个零点，有

即
解之得
，故函数
在区间
没有零点时，实数的取值范围是
14分

17.

解答：

解：（1）∵b是方程x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，

∴（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i=0，

∴
解之得a=b=3．

（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|，

得（x﹣3）2+（y+3）2=4（x2+y2），

即（x+1）2+（y﹣1）2=8，

∴z点的轨迹是以O1（﹣1，1）为圆心，2
为半径的圆，如图所示，

如图，

当z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，

∵|OO1|=
， 半径r=2
，

∴当z=1﹣i时． |z|有最小值且|z|min=
．



18.

解答：

解：（1）∵
，∴当x=1时，f（x）=0；当x=2时，f（x）=
，

∴F={0，
}．

∵λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣16
=lg2（lg2+lg5）+lg5﹣
=lg2+lg5﹣
=lg10﹣
=
．

∴λ∈F．…（5分）

（2）令f（a）=0，即
，a=±1，取a=﹣1；

令f（a）=
，即
，a=±2，取a=﹣2，

故a=﹣1或﹣2．…（9分）

（3）∵
是偶函数，且f'（x）=
＞0，

则函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．

∵x≠0，∴由题意可知：
或0＜
．

若
，则有
，即
，

整理得m2+3m+10=0，此时方程组无解；

若0＜
，则有
，即
，

∴m，n为方程x2﹣3x+1=0，的两个根．∵0＜
，∴m＞n＞0，

∴m=
，n=
．…（16分）





19.

解答：

解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，

则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1＜x2．

则f（x1）﹣f（x2）=f（x1 ）+f（﹣x2）=
[x1+（﹣x2）]．

由于
＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数．

这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．

（2）由于
对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）．

由于由（1）可得，函数f（x）是[﹣1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，

∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0．

令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有
，

解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}．





20. 解：（1）由已知得x＞0且
．

当k是奇数时，
，则f(x)在(0,+)上是增函数;

当k是偶数时，则
．　

所以当x
时，
，当x
时，
．

故当k是偶数时，f (x)在
上是减函数，在
上是增函数．…………4分

（2）若
，则
．

记

,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 令
,得
．因为
，所以
（舍去），
． 当
时，
，
在
是单调递减函数；

当
时，
，
在
上是单调递增函数．

当x=x2时,
，
． 因为
有唯一解，所以
．

则
即
设函数
，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得
…………10分

另解:
即
有唯一解,所以:
,令
,则
,设
，显然
是增函数且
，所以当
时
，当
时
，于是
时
有唯一的最小值，所以
，综上：
．

（3）当
时， 问题等价于证明

由导数可求
的最小值是
，当且仅当
时取到，

设
，则
，

易得
，当且仅当
时取到，

从而对一切
，都有
成立．故命题成立．…………16分