2013-2014学年度第二学期期中试卷

高二数学（理）

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

A

C

B　

A

D

Ｃ

D



填空题

11. 2 12.
13.
14.
15.
cm3

三．解答题

16解：（Ⅰ）当
,即
时，
为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数；…………………………………………5分

（Ⅱ）由
,得
，消去m，可得：

∵
≤
≤，可得
≤
≤7. …………………………………………12分

17. 解：（Ⅰ）
,

曲线
在点
处的切线方程为
.

…………………………………………4分

（Ⅱ）由
，得
，

若
，则当
时，
，函数
单调递减，

当
时，
，函数
单调递增，

若
，则当
时，
，函数
单调递增，

当
时，
，函数
单调递减，

…………………………………………12分

18. 解：（1）
，
，
……………………………3分

（2）假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得

于是，对n=1,2,3下面等式成立：

记

假设n=k时上式成立，即

那么

也就是说，等式对n=k+1也成立

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立

…………………………………………12分

19. 解：（Ⅰ）因为

所以

因此
…………………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当
时，

当
时，

所以
的单调增区间是

的单调减区间是
…………………………………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
内单调增加，在
内单调减少，在
上单调增加，且当
或
时，

所以
的极大值为
，极小值为

因此

所以在
的三个单调区间
直线
有
的图象各有一个交点，当且仅当

因此，
的取值范围为
。

…………………………………………12分

20. 解：对函数
求导，得

令
解得
或

当变化时，
、
的变化情况如下表：

x

0

















0











↘



↗





所以，当
时，
是减函数；当
时，
是增函数；

当
时，
的值域为

…………………………………………6分

（Ⅱ）对函数
求导，得

因此
，当
时，

因此当
时，
为减函数，从而当
时有

又
，
，即当
时有

任给
，
，存在
使得
，则

即
解
式得
或

解
式得
又
，

故：的取值范围为

…………………………………………12分