北京市西城区2013-2014学年下学期高二年级期末考试

数学试卷（理科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 复数
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
＝（ ）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 20

3. 计算定积分
＝（ ）

A. 2 B. 1 C. 4 D. －2

4. 已知从A口袋中摸出一个球是红球的概率为
，从B口袋中摸出一个球是红球的概率为
。现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（ ）

A. 24个 B. 20个 C. 18个 D. 15个

6. 如果用反证法证明“数列
的各项均小于2”，那么应假设（ ）

A. 数列
的各项均大于2

B. 数列
的各项均大于或等于2

C. 数列
中存在一项

D. 数列
中存在一项
，

7. 已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为（ ）

A. 1 B.
C.
D.

9. 若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ）

A. 80种 B. 40种 C. 36种 D. 20种

10. 函数
的图象如图所示，且
在
与
处取得极值，给出下列判断：

①
；

②
；

③函数
在区间
上是增函数。

其中正确的判断是（ ）

A. ①③ B. ② C. ②③ D. ①②

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

11. 已知函数
，则
＝____________。

12. 已知某一随机变量X的分布列如下：

X

3

b

8



P

0.2

0.5

a



且
，则a＝__________；b＝__________。

13. 曲线
在点（1，2）处切线的斜率为__________。

14. 二项式
的展开式中，常数项等于__________；二项式系数和为__________。

15. 抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为__________。

16. 已知函数
，且
是函数
的极值点。

给出以下几个问题：

①
；②
；③
；④

其中正确的命题是__________。（填出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分13分）

已知数列
中，
，其中
。

（Ⅰ）计算
的值；

（Ⅱ）根据计算结果猜想
的通项公式，并用数学归纳法加以证明。

18. （本小题满分14分）

已知函数
，其中
。

（Ⅰ）若
，求函数
的极值点和极值；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值。

19. （本小题满分13分）

某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调，由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关，甲、乙两种品牌空调的保修期均为3年，现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台，统计数据如下：

品牌

甲

乙



首次出现故障时间

x年

















空调数量（台）

1

2

4

43

2

3

45



每台利润（千元）

1

2

2.5

2.7

1.5

2.6

2.8



将频率视为概率，解答下列问题：

（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（Ⅱ）若该厂生产的空调均能售出，记生产一台甲品牌空调的利润为X1，生产一台乙品牌空调的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；

（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌空调销量相当，但由于资金限制，只能生产其中一种品牌空调，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由。

20.（本小题满分13分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球。

（Ⅰ）求取出的4个球中没有红球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设
为取出的4个球中红球的个数，求
的分布列和数学期望。

21. （本小题满分13分）

已知函数
。

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间、最大值；

（Ⅱ）设函数
，若存在实数
使得
，求m的取值范围。

22. （本小题满分14分）

已知
，设曲线
在点
处的切线为
。

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）设函数
，其中
。

求证：当
时，
。

【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 0 12. 0.3，6 13. －2 14. －540，64

15.
16. ①③

注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；

16题，仅选出①或③得3分；错选得0分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）根据已知，
；

；

。 3分

（Ⅱ）猜想
。 5分

证明：①当
时，由已知，等式左边＝1，右边＝
，猜想成立。 7分

②假设当
时猜想成立，即
， 8分

则
时，

，

所以，当
时，猜想也成立。 12分

综合①和②，可知
对于任何
都成立。 13分

18. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当
时，
。 2分

令
，得
或
。

所以，在区间
上，
，函数
是增函数；在区间
上，
，函数
是减函数；在区间
上，
，函数
是增函数。 4分

所以，函数
的极小值点为
，极小值为
；极大值点为
，极大值为
。 8分

（Ⅱ）当
时，
是R上的增函数，

在区间
上的最小值为
。 10分

当
时，
。

在区间
上
是减函数，在区间
上
，
是增函数。 12分

所以，在区间
上
的最小值为
， 13分

。 14分

综上，函数
在区间
上的最小值为
。

19. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内”为事件A，

则
。 4分

（Ⅱ）依题意
的分布列如下：

1

2

2.5

2.7



P











7分

的分布列如下：

1.5

2.6

2.8



P









9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得

（千元）； 11分

（千元）。 12分

所以
，

故应生产乙品牌空调。 13分

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“取出的4个球中没有红球”为事件A。

则
，

所以取出的4个球中没有红球的概率为
。 4分

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件B，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C。由于事件B，C互斥，

且
， 6分

。 8分

所以，取出的4个球中恰有1个红球的概率为

。 9分

（Ⅲ）解：
可能的取值为0，1，2，3。 10分

由（Ⅰ）（Ⅱ）知
。

。

，

所以，
的分布列为：

0

1

2

3



P











12分

所以
的数字期望
。 13分

21. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当
时，
。 4分

当
时，
，函数
在区间
上是增函数； 5分

当
时，
，函数
在区间
上是减函数； 6分

所以
的最大值为
。 7分

故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，最大值为
。

（Ⅱ）由已知
。

当
时，
，

，函数
在区间
上是减函数； 9分

当
时，
，

，函数
在区间
上是增函数； 11分

所以
的最小值为
。 12分

若存在实数
，使得
，则
，解得
。

所以m的取值范围为
。 13分

22. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
， 2分

依题意
，且
。 3分

所以
。

解得
。 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
。

所以
。

。 6分

当
时，由
得
，由
得
。

所以
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数，
是
的极小值点。 8分

当
，
时，
，

所以
的最小值为
，最大值为
。 9分

设
，则
，

因为
，所以
。

所以
在
上单调递减，

所以，
。 11分

所以，当
，
时，
。

又因为
，
， 12分

。 13分

所以当