2014上学期安乡一中期末考试

高二数学（理）试卷

时量120分钟 满分：150分 命题人：郑宏达

一．选择题（每小题5分，共50分）

1、设集合
，集合
,则
（ ）

A、（1，4） B、（3，4） C、（1，3） D、（1，2）∪（3，4）

2“x<2”是“
”的 （ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3、函数
的图过定点A，则A点坐标是 （ ）

A、（
） B、（
） C、（1,0） D、（0,1）

4、已知
，则
（ ）

A、2 B、-2 C、0 D、

5、与直线
关于x轴对称的直线方程为 （ ）

A、
B、

C、
D、

6、已知等比数列
满足
则
（ ）

A、64 B、81 C、128 D、243

7、已知a>0,b>0,a+b=2,则
的最小值是 （ ）

A、
B、4 C、
D、5

8、已知向量
，若
为实数，
∥
，则
= （ ）

A、
B、
C、1 D、2

9、两人进行乒乓球比，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形，（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 （ ）

A、10种 B、15种 C、20种 D、30种

10、对函数f(x),若
为某一个三角形的边长，则称
为“
三角函数”，已知函数
为“
三角函数”，则实数m的取值范围是 （ ）

A、
B、
C、
D、

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、已知
，且
，则
的最小值是 。

12、如图，AC为⊙
的直径，
,弦BN交AC于点M，若
，

OM=1,则MN的长为 。

13、在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离为 。

14、在
的二项展开式中，x的系数为 。

15、对于∈N*,定义
，其中K是满足
的最大整数，[x]表示不超过x的最大整数，如
，则

（1）
。

（2）满足
的最大整数m为 。

三、解答题(本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明，推理过程或演算过程)

16、（本小题满分12分）

已知函数

（1）求
的最小正周期

（2）当
时，若
，求的值

17、（本小题满分12分）

某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是
。

（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；

（2）求小明在4次投篮后的总得分
的分布列和期望。

18、（本小题满分12分）

如图. 直三棱柱ABC —A1B1C1 中，A1B1= A1C1,点D、E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点。

求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1

（2）直线A1F∥平面ADE。

19、（本小题满分13分）

在等比数列
（ n∈N* ）中a1>1,公比q>0，设bn=log2 an,且b1+b3+b5=6,b1·b3·b5=0.

(1)求证：数列
是等差数列；

(2)求
前n项和Sn及
通项an.

20、（本小题满分13分）

如图所示，n台机器人M1，M2，……，Mn位于一条直线上，检测台M在线段M1 Mn上，n台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测，送检程序设定：当Mi把零件送达M处时，Mi+1即刻自动出发送检（i=1,2,……,n-1）已知Mi的送检速度为V(V>0), 且
记
，n台机器人送检时间总和为f(x).

(1)求f(x)的表达式；

(2)当n=3时，求x的值使得f(x)取得最小值；

(3)求f(x)取得最小值时， x的取值范围。

21、（本小题满分13分）

在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为xn,该年的增长量yn和 xn与
的乘积成正比，比例系数为
，其中m是与n无关的常数，且x1

(1)证明：
;

(2)用 xn表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.

2014上学期安乡一中期未考试

理数答案

一、

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

B

C

B

A

A

C

B

C

D



二、
，1，
，-40，223、919

15、（1）223

（2）设m=10ka0+10k-1a1+……+10oai为不大于9的自然数，i=0,1,…，k，且a0≠0，则f(m)=(10k-1+10k-2+……+1) a0+(10k-210k-3…+1)·a1+…+ ak-1,

因为f(m)=100，而K=1时，f(m)<100，k>2时，f(m)>( 10k-1+10k-2+…+1) ·a0>100故k的值为2，所以f(m)=11 a0+ a，要使m最大，取a0=9，此时a1=1，再取a2=9，故满足f(m)=100的最大整数m为919。

16、（1）f(m)=2sin(2x+
) …6分

最小正周期长 …6分

（2）
…12分

17、（1）
…6分

（2）E(
)=
…12分

0

2

4

6

8



 p













18、（1）ABC—A1B1C1是直三棱柱， CC1⊥面ABC，

又AD平面ABC， CC1⊥AD

又AD⊥DE，CC1，DE平面B CC1B1，CC1∩DE=E

AD⊥面B CC1 B1 又AD面ADE

平面ADE⊥平面BCC1B1 …6分

（2）A1B1= A1C1，F为B1C1的中点， AF⊥B1C1

CC1⊥面A1B1C1且A,F平面A1B1C1

CC1⊥A、F

又CC1，A,F平面BCC1B1，CC1∩B1C1= C1

A1F⊥平面BCC1B1 由（1）知AD ⊥平面BCC1B1

A1F∥AD，又AD平面ADE，A1F平面ADE

A1F∥平面ADE …12分

19、（1）证明： bn=logzan, bn+1 -bn=log2
为常数

数列
为 差数列且公差d=log2q ……6分

（2）b1+b3+b5=6, b3=2, a,>1, b1=logza1>0

b1·b3·b5=0 b5=0

an=25-n（ n∈N* ）……13分

20、（1）以M1为坐标原点，M1，M2…，Mn所在直线为x轴建立数轴Mi的坐标为i-1，M的坐标为x。

f(x)=
…3分

（2）n=3时,V f(x)=

f(x)在x=1处取得最小值

（3）当i≤x≤i+1,(0≤i

=x+(x-1)+…+(x-i)-(x-(i+1))+…+(x-(n-1))

=[( i+1)x-(1+2+…+ i)]-[n-( i+1)·x-( i+1+ i+2+…+(n-1) ]

=-[n-2 (i+1) ]·x-

当0≤i<
时，f(x)单调递减：当
时，f(x)单调递增

当
, f(x)为常函数，又f(x)图象是一条连续不断的图象，所以①n为偶数时，f(x)在（0，
）内单调递减，在(
)为常函数，在（
，n-1）单调递增，所以当x∈[
,
]时f(x)取得最小值。

②n为奇数时，
在
内单调递减，（
表示
的整数部分），在
内单调递增，所以当
时
取得最小值 （13分）

21、（1）由题意知
，配方得：
∵
∴当且仅当
时，
取得最大值
，即
（5分）

（2）
（8分）

用数列归纳法证明：

当n=1时，由题意知
，故命题成立

假设当
时，命题成立

是xk的一个二次函数
，
有对称轴
，开口向下，由
，则
，于是在
上均有
=m

取
，即知
，∴当
时，命题成立，综上知，对一切正整数n，
这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长 （13分）