2013-2014学年度第一学期期中考试

高二数学试卷

(考试用时：120分钟 满分160分)

注意事项：

所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.若直线
与直线
互相平行，则实数＝ ▲ ．

2.椭圆
的离心率
▲ .

3.抛物线
的焦点坐标是 ▲ ．

4.双曲线
的渐近线方程为 ▲ .

5.设
是正方体的一条棱，则这个正方体中与
异面的棱共有 ▲ 条．

6.已知双曲线的方程为
，则实数的取值范围是 ▲ .

7.已知圆内接正方形相对两个顶点的坐标分别为
则这个圆的标准方程为

▲ .

8. 过点
引圆
的切线，则切线长为 ▲ ．

9.空间的四点最多能确定 ▲ 个平面.

10.若两圆
，
相外切，则实数
▲ ．

11.若抛物线
的准线与圆
相切，则
▲ .

12.给出下列命题：

①若
，则∥； ②若
，则
；

③若
不平行于，则一定不垂直于
；

④若
不垂直于，则一定不垂直于．

其中正确命题的序号是 ▲ .（填写所有正确命题的序号）

13. 设点
，若圆
上存在点，使
， 则实数的取值范围是 ▲ .

14.已知点
是抛物线
上三点，若
，则
的最小值为

▲ .

二、解答题（本题共6小题，共90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知直线
，
互相垂直．

（1）求实数
的值；

（2）求直线
与
的交点的坐标．

16．（本小题满分14分）

(1)已知椭圆的一个焦点坐标为
，离心率为
，求椭圆的标准方程；

(2)已知双曲线的渐近线方程为
，准线方程为
，求该双曲线的标准方程.

17．（本小题满分14分）

如图，在长方体
中，点
分别是棱
的中点，点
分

别是棱
的中点．求证：
∥
．

18．（本小题满分16分）

已知
三个顶点坐标分别为：
，直线
经过点
．

(1) 求
外接圆
的方程；

(2) 若直线
与
相切，求直线
的方程；

(3) 若直线
与
相交于
两点，且
，求直线
的方程．

19．（本小题满分16分）

如图，点
分别是椭圆

的左、右焦点．点是椭圆
上一点，点是直线
与椭圆
的另一交点，且满足
轴，
．

（1）求椭圆
的离心率；

（2）若
的周长为
，求椭圆
的标准方程；

（3）若
的面积为
，求椭圆
的标准方程．

20．（本小题满分16分）

已知椭圆

的离心率为
，连结椭圆的四个顶点的菱形面积为．斜率为
的直线
与椭圆交于不同的两点
，其中点坐标为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段
的垂直平分线与轴交于点
，当
时，求
的最大值；

（3）设为椭圆上任意一点，又设过点
，且斜率为
的直线
与直线
相交于

点
，若
，求线段
的最小值．

2013-2014学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1. -1 2.
3.
4.
5. 4

6.
7.
8.
9. 4

9.
10. 2 11.② 12.
14. 2

二、解答题（本题共6小题，共90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15． 解：（1）直线
与
的斜率分别为
，

∵直线
与
互相垂直，∴
，
． …………… 7分

（2）联立
，

解得
，
． …………… 14分

16．解：（1）设椭圆的标准方程为：
，

由题意得
，解得
，

所以所求椭圆的标准方程为
． …………… 7分

（2）由题意知双曲线标准方程为：
，

所以
，
，

又
，解得
，

所以所求双曲线标准方程为
. …………… 14分

17． 证：连结

由长方体
知，
∥
，

∵点
分别是棱
的中点，

∴由三角形中位线定理得：
∥
，

同理
∥
， …………………………………… 7分

∴
∥
，则四边形
为平行四边形，

故
∥
． …………… 14分

18． 解：（1）解法1：设
的方程为：

则由题意得
解得

的方程为
，或
．………… 5分

解法2：
的横坐标相同，故可设
，

由
得
，解得
，

的方程为
，或
．

解法3：
，
，

，则
是等腰直角三角形，

因而
圆心为
，半径为，

的方程为
．

(2)当直线
与轴垂直时，显然不合题意，因而直线
的斜率存在，设
，

由题意知
，解得
或
，

故直线
的方程为
或
． ………… 10分

（3）当直线
与轴垂直时，
方程为
，它截
得弦长恰为
；

当直线
的斜率存在时，设
，

∵圆心到直线
的距离
，

由勾股定理得
，解得
，

故直线
的方程为
或
． ………… 16分

19． 解：（1）解法1：在
中，

． …………… 5分

解法2：
中，

则
，代入
并利用
化简整理得

，即
，

，
，
．

（2）由椭圆定义知
，

∴
的周长为
，∴
则
，

故椭圆
的标准方程为
． …………… 10分

（3）解法1：由（1）知
则
，

于是椭圆方程可化为
，即
，

设直线
的方程为
，代入
化简整理得

，
或
，

则点的横坐标为
，∴点到直线
的距离为
，

∴
的面积为
解得
，

故椭圆
的标准方程为
． …………… 16分

解法2：设
，则
，

在
中由余弦定理得：
,

即
，

化简整理得
，

∴

又∵
轴，
，

∴点
到直线
的距离为
，

∴
的面积为
解得
，

故椭圆
的标准方程为
．

20． 解：（1）由
得
，

又
，
，

又由题意得
，即
，

解得
，

故椭圆的方程为
． ……… 4分

(2) 直线
的方程为
，

代入
化简整理得
，

解得
或
，则
，

因而线段
中点坐标为
，

∵
，则线段
的垂直平分线为
，

设点
坐标为
，令
得
，

则

，

∵欲求
的最大值，故可令
，

则
，

故当
，即
时