一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）

1.已知命题
，命题
，则( 　 )

A. 命题
是真命题 B.命题
是真命题

C. 命题
是假命题 D.命题
是假命题

2.在⊿ABC中，A=45°,B=60°,a=2，则b等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3.若等差数列
的前5项和
，且
，则
（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4.若
，则下列各式中正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知等比数列
的前三项依次为
= （ ）

A．
B．
C．
D．

6.若直线
上存在点
满足约束条件
,则实数的最大值为 （　　）

A．-1 B．1 C．
D．2

7. 已知“命题p：
∈R，使得
成立”为真命题，则实数a满足（ ）

A．[0，1） B．
C．[1，＋∞） D．

8. 有下面四个判断：其中正确的个数是( )

①命题：“设、
，若
，则
”是一个真命题

②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题

③命题“
、
”的否定是：“
、
”

A.0 B.1 C.2 D.3

9．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为

A．2 B．8 C. D.

10.已知函数
，若
互不相等，且
，则
的取值范围是( )

A．(0，2016) B．(0，2016] C．(0，504) D．(0，504]

11．已知数列
、
满足
，且
是函数
的两个零点，则
等于

A．24 B．32 C．48 D．64

12．已知函数
。规定：给定一个实数
，则继续赋值
…，以此类推，若
，否则停止赋值，如果得到
称为赋值了次
已知赋值k次后该过程停止，则
的取值范围是

A．
B．
]

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接答在答题卷上)

13、已知船在灯塔
北偏东
处，且船到灯塔
的距离为2km，船在灯塔
北偏西
处，、两船间的距离为3km，则B船到灯塔
的距离为____________km。

14.在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______

15. 在约束条件
下，当
时，目标函数
的最大值的变化范围是___________

16、已知函数

的最大值为
，最小值为，则
的值为_____.

三、解答题(本大题共6小题，17题10分,18-22题每小题12分，共70分.把答案直接答在答题卷上)

17.（本小题满分10分）

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
的值.

18．（本小题满分12分）

在
中，已知
，
．

（1）求
的面积；

（2）设
是
内一点，定义
，其中，，分别是
，
，
的面积，若
，求
的最小值．

19. （本小题满分12分）在海岸处发现北偏东45°方向，距处(－1)海里的处有一艘走私船，在处北偏西75°方向，距处2海里的
处的我方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

20．（本小题满分12分）

已知关于的不等式
，其中
．

（1）当
变化时，试求不等式的解集A；

（2）对于不等式的解集A，若满足
（其中Z为整数集）。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最小的
的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

在数列
中，
（
）．

（1）求
，
，
的值；

（2）求证：数列
是等比数列；

（3）设
，且
（
），如果对任意
，都有
，求实数的取值范围．

22.（本小题满分12分）

已知
，
，对任意实数
满足：

（Ⅰ）当
时求
的表达式;

（Ⅱ）若
，求
;

（III）记
，试证
.

郑州市第四中学2014—2015学年上期高二年级期中考试

数学(理科)答案

17.解：（Ⅰ）由

由b2=ac及正弦定理得

于是

（Ⅱ）由

由余弦定理 b2=a2+c2－2accosB 得a2+c2=b2+2ac·cos B=5.

18．解：（1）由题意可知：

可得

因此

（2）由于
，且
，

则
，即

故

，即

当且仅当
，即
，
时取等号

∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.

∴t＝小时．

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要小时．

20．（1）当
变化时，可对
的取值分类讨论：

①当
时，不等式为：
，解得：
，即
（1分）

当
时，不等式可化为：

②当
时，不等式为：
，且
，

解得：
，即
（3分）

21.解：（1）由题意可知：当
时，
，解得：

同理可得：当
时，
，解得：

当
时，
，解得：

（2）由题意可得：
（
）①

则当
时，
②

②式─①式得：
，

等式两边同时减，可得：
，即

由于
，即
，

则数列
是一个以
为首项，
为公比的等比数列

（3）由（2）可知
为等比数列，则

解得：
（
），故

显然
，当
时，
，

则当
时，

由此可得：
，即
，

当
时，数列
为单调递减数列，则

因此
，都有
，则

解得：
或