第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点
的椭圆的标准方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．椭圆
的一个焦点是
，那么
（ ）

A．
B．
C． D．

3．在空间中，下列命题正确的个数是（ ）

①平行于同一直线的两直线平行 ②垂直于同一直线的两直线平行

③平行于同一平面的两直线平行 ④垂直于同一平面的两直线平行

A．1 B．2 C．3 D．4

5．设抛物线
上一点到轴距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）

A．8 B．6 C．4 D． 2

6．正方体AC1中，点P、Q分别为棱A1B1、DD1的中点，

则PQ与AC1所成的角为(　　)

A．30o　　　B．45o C．60o　　　D．90o

7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、

BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦

值为(　　)

A． B． C． D．

8．若点的坐标为
，是抛物线
的焦点，点
在抛物线上移动时，使
取得最小值的
的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．过双曲线的一个焦点
作垂直于实轴的弦
，
是另一焦点，若∠
，则双曲线的离心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．为椭圆
上的一点，
分别为左、右焦点，且
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知
是直线
被椭圆
所截得的线段的中点，则直线
的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．从双曲线
的左焦点引圆
的切线，

切点为，延长
交双曲线右支于点，若
为线段
的中点，

为坐标原点，则
与
的大小关系为（ ）

A．
　 B.

C．
　D.不确定

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知过抛物线
焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 .

14．已知椭圆
和双曲线
有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程为 .

15．在四面体
中，

则二面角
的大小为 .

16．若抛物线
的焦点是，准线是
，则经过两点、
且与
相切

的圆共有 个.

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本题满分10分）

已知抛物线
，直线
与抛物线交于
两点

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的面积.

19. （本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
//
，
，
，
平面
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）点
为线段
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20. （本题满分12分）

已知椭圆
：
的右焦点为
，且椭圆
过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过点的直线
与椭圆
交于
两点，与直线
交于
点，若直线
的斜率成等差数列，求的值.

21. （本题满分12分）

如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
⊥平面
，
，
，
，是
的中点．

（Ⅰ）求证：

；

22. （本题满分12分）

已知
，直线
：
，椭圆
：
的左、右焦点分别为
，

（Ⅰ）当直线
过
时，求的值；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于
两点，△
、△
的重心分别为
、
，若原点在以线段
为直径的圆内，求实数的取值范围.

哈师大附中2014-2015学年度高二上学期期中考试

数学答案（理科）

一、选择题：

DCBCA DCDCB AB

二、填空题：

13．45o或135o 14．
15．60o 16．2

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）设

，
显然成立
， ……2分

……4分

……5分

（Ⅱ）原点
到直线
的距离
， ……7分

， ……9分

……10分

18．解：（法一）（Ⅰ）连结
交
于点
，侧棱
底面
侧面
是矩形，

为
的中点，且是棱
的中点，
， ……4分

∵
平面
，
平面

平面
……6分

（Ⅱ）
，
为异面直线
与
所成的角或其补角． ……8分

，

为等边三角形，
，异面直线
与
所成的角为
.……12分

（法二）（Ⅰ）以为原点，
所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

，

设
为平面
的一个法向量，

令
则
……3分

，

又
平面

平面
……6分

（Ⅱ）
， ……8分

异面直线
与
所成的角为
. ……12分

19．（法一）（Ⅰ）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则
…3分

又
，
平面
……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面
的一个法向量为
， ……8分

设直线
与平面
所成的角为
，则
，

所以直线
与平面
所成的角的正弦值为
． ……12分

（法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，∵CD∥AB，∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2

Rt△DAB中，DA=
，AB=4，∴DB=
，∴DO=
DB=

同理，OA=
CA=
，∴DO2+OA2=AD2，即∠AOD=90o，∴BD⊥AC ……3分

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD ……5分

由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC ……6分

（Ⅱ）解：连PO，取PO中点H，连QH，则QH∥BO，由（Ⅰ）知，QH⊥平面PAC

∴∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角． ……8分

由（Ⅰ）知，QH=
BO=
，

取OA中点E，则HE=
PA=2，又EC=
OA+OC=

Rt△HEC中，HC2=HE2+EC2=

∴Rt△QHC中，QC=
，∴sin∠QCH=

∴直线
与平面
所成的角的正弦值为
． ……12分

20．解：（Ⅰ）由已知
，
因为椭圆过
，所以

解得
，椭圆方程是
……4分

（Ⅱ）由已知直线
的斜率存在，设其为
，

设直线
方程为
，
易得

由
，所以
……6分

，
，
……8分

而

+

……10分

因为
、
、
成等差数列，故

，解得
……12分

21．（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=
．

∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …① ……1分

∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，

∵DE平面ABCD，∴ND⊥DE …② ……2分

由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC

∴DE⊥NC ……4分

（Ⅱ）解：设存在P符合题意．

由(Ⅰ)知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），

则D
,A
,E
,C
,P

．

∴
，设平面PEC的法向量为
，

则
，令
，则平面PEC的一个法向量为
……7分

取平面ECD的法向量

， ……9分

∴


，解得

，

即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为