银川一中2014届高三年级第一次月考

数 学 试 卷（理）

　　　　　　　　　　　 命题人：曹建军

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 设集合
则

A.
B.

C.
D.

2. 命题“若
”的逆否命题是

A．若
B．若

C．若则
D．若

3．给出下列四个命题:

①命题
,则
.

②当
时,不等式
的解集为非空.

③当
时,有
.

④设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=1-i

其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

4．若
,则函数
的两个零点分别位于区间

A.
和
内 B.
和
内

C.
和
内 D.
和
内

5. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的

A．充分而不必要条件　　 　　 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件

6. 曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为

A.
B.
C.
D.

7. 设点P在曲线
上，点Q在曲线
上，则|PQ|最小值为

A．
B.
C.
D.

8. 若定义在R上的偶函数
满足
且
时,
则方程
的零点个数是

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 多于4个

9．已知函数

,若|
|≥
,则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10．设直线
与函数
的图象分别交于点
，则当
达到最小时
的值为

A．1 B．
C．
D．

11．已知函数
定义在R上的奇函数，当
时，
，给出下列命题：

①当
时，
②函数
有2个零点

③
的解集为
④
，都有

其中正确命题个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

12. 已知函数
设
表示
中的较大值,
表示
中的较小值,记
得最小值为

得最大值为
,则

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 设集合P＝{x|(3t2－10t＋6)dt＝0，x>0}，则集合P的非空子集个数是 .

14. 方程x3－3x＝k有3个不等的实根, 则常数k的取值范围是　　　　　　.

15. 已知“命题
”是“命题
”成立的必要不充分条件,则实数
的取值范围为_________________.

16. 关于函数
，有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；

③f(x)的最小值是lg2；

④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；

⑤f(x)无最大值，也无最小值．

其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. (本小题满分12分)

设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对

x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.

18. (本小题满分12分)

设函数

(1)设
,
,证明:
在区间
内存在唯一的零点;

(2) 设
,若对任意

,有
,求
的取值范围;

(3)在(1)的条件下,设
是
在
内的零点,判断数列
的增减性.

19. (本小题满分12分)

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产
千件，需另投入成本为
，当年产量不足80千件时，
（万元）.当年产量不小于80千件时，
（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（Ⅰ）写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

20. (本小题满分12分)

设
为实数，函数

(Ⅰ)求
的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当
且
时，

21. (本小题满分12分)

已知函数
=
,
=
,若曲线
和曲线
都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线
.

(Ⅰ)求
,
,
,
的值;

(Ⅱ)若
≥-2时,
≤
,求
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图,已知
切⊙
于点E,割线PBA交⊙
于

A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.

求证:(Ⅰ)
; (Ⅱ)
.

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．

在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

过点P(-2,-4)的直线
为参数)与曲线C相交于点M,N两点
.

(Ⅰ)求曲线C和直线
的普通方程;

(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a的值

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数
.

(Ⅰ)当a = 3时,求不等式
的解集;

(Ⅱ)若
对
恒成立,求实数a的取值范围.

银川一中2014届高三第一次月考数学(理科)试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

A

C

A

D

B

C

D

D

B

C





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 3 14. -2

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. 解:p:?<0且a>0,故a>2;

q:a>2x-2/x+1,对
x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1此时x=-1,故a≥1

“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于p,q一真一假.故1≤a≤2

18. 解析:(1)
,
时,

∵
,∴
在
内存在零点.

又当
时,

∴
在
上是单调递增的,所以
在
内存在唯一零点.

(2)当
时,

对任意
都有
等价于
在
上最大值与最小值之差
,据此分类讨论如下:(ⅰ)当
,即
时,

,与题设矛盾

(ⅱ)当
,即
时,

恒成立

(ⅲ)当
,即
时,

恒成立.

综上可知,

注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:

用
表示
中的较大者.当
,即
时,

恒成立

(3)证法一 设
是
在
内的唯一零点

,
,

于是有

又由(1)知
在
上是递增的,故
,

所以,数列
是递增数列.

证法二 设
是
在
内的唯一零点

则
的零点
在
内,故
,

所以,数列
是递增数列.

19.解：（Ⅰ）因为每件商品售价为0.05万元，则
千件商品销售额为0.05×1000
万元，依题意得：

当
时，

.………………………………2分

当
时，

=
.………………………………………………4分

所以
…………6分

（Ⅱ）当
时，

此时，当
时，
取得最大值
万元. ………………8分

当
时，

此时，当
时，即
时
取得最大值1000万元.………………11分

所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.

………………………………………………………………………………………………12分

20. （１）解：由
知，
．

令
，得
.于是，当
变化时，
和
的变化情况如下表：













0

+





单调递减



单调递增



故
的单调递减区间是
，单调递增区间是
．
在
处取得极小值，极小值为
．

（２）证明：设
，于是
．

由（1）知，
对任意
,都有
，所以
在R内单调递增．

于是，当
时，对任意
，都有
，而
，

从而对任意
，都有
，即
故

21. (Ⅰ)由已知得
,

而
=
,
=
,∴
=4,
=2,
=2,
=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
,

设函数
=
=
(
),

=
=
, 有题设可得
≥0,即
,

令
=0得,
=
,
=-2,

(1)若
,则-2<
≤0,∴当
时,
<0,当
时,
>0,即
在
单调递减,在
单调递增,故
在
=
取最小值
,而
=
=
≥0,

∴当
≥-2时,
≥0,即
≤
恒成立,

(2)若
,则
=
,

∴当
≥-2时,
≥0,∴
在(-2,+∞)单调递增,而
=0,

∴当
≥-2时,
≥0,即
≤
恒成立,

(3)若
,则
=
=
<0,

∴当
≥-2时,
≤
不可能恒成立,

综上所述,
的取值范围为[1,
].

22. (Ⅰ)证明:
切⊙
于点
,

平分

,

(Ⅱ)证明:

∽
,

同理
∽
,

23.

24．解:(Ⅰ)
时,即求解

①当
时,

②当
时,

③当
时,

综上,解集为

(Ⅱ)即
恒成立

令
则函数图象为

,