仲元中学 中山一中 南海中学

2013—2014学年　　　　　　　　　　　 高三第一次联考

潮阳一中 宝安中学 普宁二中

数学（文科）

一 选择题（每小题5分，共50分）

1. 已知集合
，则
= （ ）

A．
　B．
　C．
D．

2．已知
是实数，
是纯虚数（
是虚数单位），则
=（ 　）

A．1 B．－1 C．
D．－

3．
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设条件
；条件
，那么
是
的什么条件 （ ）.

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件

5．已知直线
都在平面
外, 则下列推断错误的是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．方程
的实数解的个数为( )　

A．2 B．3 C．1 D．4

7．设等比数列
的公比
， 前n项和为
，则
（ ）

A. 2 　　　B. 4 　C.
　　D.

8．已知向量
,
，如果向量
与
垂直，则
的值为（ ）

A.
　B.
　 C.2 D.

9．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是

边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那

么这个几何体的全面积为 （　 ）

A．
B．
C．
D．

10．函数
是R上的奇函数，
,则
的解集是（ ）

A
B
C
D

二．填空题：（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）

（一）必做题（11～１３题）

11．对任意非零实数
，若
的运算原理如右图程序框图所示，则
=　　 　　．

12. 已知
= .

13．已知
满足条件
（
为常数） ，若
的最大值为8，则
= .

（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）

14.（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系
中，点
是椭圆
上的一个动点，则
的最大值为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形
中，

,
的面积为6,

则
的面积为 .

三．解答题：(本大题共6小题，共80分，要求写出必要的解答过程)

16．（本小题满分12分）已知
，

（1）求
的值；

（2）求函数
的最大值．

17.（本小题满分12分）某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号

分组

频数

频率



第1组



5

0.050



第2组



①

0.350



第3组



30

②



第4组



20

0.200



第5组



10

0.100



合计

100

1.00





18．(本小题满分14分)

长方体
中，
，

，
是底面对角线的交点。

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
平面
；

(Ⅲ)求三棱锥
的体积。

19. （本小题满分14分）

已知等差数列
的前5项和为105，且
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)对任意
，将数列
中不大于
的项的个数记为
.求数列
的前m项和
.

20．(本小题满分14分)

已知抛物线方程
（
，且
）．

(Ⅰ)若抛物线焦点坐标为
，求抛物线的方程；

(Ⅱ)若动圆
过
，且圆心
在该抛物线上运动，E、F是圆
和
轴的交点，当
满足什么条件时，
是定值．

21．（本题满分14分）

已知
为正的常数，函数
。

（1）若
，求函数
的单调增区间；

（2）设
，求函数
在区间
上的最小值。

参考答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

D

A

C

A

C

D

A

B





二 .填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）

11.2 ； 12.
； 13.－6 ； 14.2 ； 15.

16．解：（1）由

得
，
……………2分

于是
=
. ……………………………6分

（2）因为
所以
………………9分

…………11分

的最大值为
. ………………………………………………………………12分

17．解：（1）由题可知，第2组的频数为
人, …………… 1分

第3组的频率为
, ………2分

频率分布直方图如右: ………… 5分

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

第3组:
人, ………… 6分

第4组:
人, ………… 7分

第5组:
人, ………… 8分

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3位同学为
,第4组的2位同学为
,第5组的1位同学为
,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
，
，
，
，
，









……10分

其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的有:

9中可能, …………11分

所以其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的概率为
…………12分

18．(Ⅰ) 证明：依题意：
，且
在平面
外．……………………2分

∴
平面
……………4分

(Ⅱ) 证明：连结

∵

∴
平面
…………5分

又∵
在
上，∴
在平面
上

∴
∵
∴

∴
∴
中，
…… 7分

同理：
∵
中，

∴
∴
平面
……………………………………………10分

(Ⅲ)解：∵
平面

∴
……………………………………………12分

…………………………………………14分

19.(I)由已知得：

解得
,

所以通项公式为
.……………6分

(II)由
，得
，

即
.
∴
是公比为49的等比数列，

……………14分

20．解：(Ⅰ) 依题意：
． ……………………………………………… 2分

∴
∴所求方程为
． ………………………………4分

(Ⅱ)设动圆圆心为
，（其中
），
、
的坐标分别为
，

因为圆
过
，故设圆的方程
…………6分

∵
、
是圆
和
轴的交点 ∴令
得：
………8分

则
，

……………10分

又∵圆心
在抛物线
上 ∴
…………11分

∴
…………………………………．12分

∴当
时，
(定值)． ……………………………………………14分

21.解：（1）由
，得
，

当
时，
，
，

由
，得
，解得
，或
（舍去）

当
时，
；
时，
；

∴函数
的单调增区间为
； …………2分

当
时，
，
，

由
，得
，此方程无解，∴函数
在
上为增函数；…4分

∴函数
的单调增区间为
，
。 …………5分

（2）
，
，

①若
时，
，则
，

∵
，∴
，∴
，
，∴

∴