佛山市南海区2014届高三数学（文）8月质量检测试题

参考公式：
（其中
为锥体的底面积，
为锥体的高）

一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）

1．已知集合
，
，则
（ ）

．

．

．

．

2．复数
的虚部是（ ）

．

．

．

．

3．已知向量
，
, 若
//
, 则实数
等于（　　）

．

．

．
或

．

4．已知
,且
,则
（ ）

．

．

．

．

5．设曲线
在点
处的切线的斜率为
，则函数
的部分图象可以为（ ）

6．一个正四棱锥的正(主)视图如右图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（　　）

．
，

．
，

．
，

．
，

7．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程
有有理实数根，那么
，
，
中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）

． 假设
，
，
都是偶数

． 假设
，
，
都不是偶数

． 假设
，
，
至多有一个是偶数

． 假设
，
，
至多有两个偶数

8．下列说法中正确的有（ ）

（1）命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

（2）“
”是 “
”的充分不必要条件；

（3）若
为假命题，则
、
均为假命题；

（4）对于命题
：
，
，则
：
，
.

．1个
．2个
．3个
．4个

9．已知数列
为等差数列，若
，
（
，
），则
。类比上述结论，对于等比数列
（
），若
，
（
，
），则可以得到
( )

．

．

．

．

10．设集合
和
为平面中的两个点集，若存在点
、
，使得对任意的点
、
，均有
，则称
为点集
和
的距离，记为

.已知集合


，则
（ ）

．

．

．

．

二、填空题（本题分必做题与选做题，每小题5分，共20分）

（一）必做题（11-13题）

11．某公司有职员150人，中级管理 人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，则高级管理人员应抽取

人.

12．执行如图所示的程序框图,若输入
.

13．如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左顶点为
，左焦点为
，上顶点为
，若
，则椭圆的离心率是 .

（二）选做题（14～15题，考生只要从中任选一题完成即可）　

14．（几何证明选讲选做题）如图所示，
和
分别是圆
的切线，

且
，
，延长
到
点，则△
的面积是___________．

15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程是
（
是参数），若以
为极点，
轴的正半轴为极轴，则曲线
的极坐标方程可写为________________.

三、解答题（本题共6小题，共80分，要求写出必要的演算、推理、证明过程）

16．（本题满分12分）

已知函数

（1）求
的最小正周期； （2）求
的对称中心．

17．（本题满分12分）

某校高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：

甲



乙



9　8

8

4 　8　9



2　1　0

9


6





（1）求
；

（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份试卷中，求至多有一份得分在
之间的概率．

18．（本题满分14分）

如图，边长为2的正方形
中，点
是
的中点，点
是
的中点，将△
、△
分别沿
、
折起，使
、
两点重合于点
，连接
，
．

（1）求证：
；

（2）求点
到平面
的距离．

19．（本题满分14分）

数列
的前
项和为
，且
是
和
的等差中项，等差数列
满足
，
.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，证明：
．

20．(本题满分14分)

如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
，直线
与线段
、
分别交于点
、
.

(Ⅰ)当
时，求以
为焦点，且过
中点的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)过点
作直线
交
于点
，记
的外接圆为圆
.

求证:圆心
在定直线
上；

圆
是否恒过异于点
的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

21．（本题满分14分）

已知函数
（
是自然对数的底数）.

（1）若曲线
在
处的切线也是抛物线
的切线，求
的值；

（2）当
时，是否存在
，使曲线
在点
处的切线斜率与
在
上的最小值相等？若存在，求符合条件的
的个数；若不存在，请说明理由.

2014届南海区高三数学（文）8月质量检测试题参考答案及评比细则

一．选择题（每小题5分，共50分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



























填空题（每小题5分，共20分）

11．2 12．
13．
14．

15．
或

三．解答题（本题共80分）

16．（本题满分12分）

已知函数
。

（1）求
的最小正周期； （2）求
的对称中心。

【解析】
…………1分

…………2分

…………3分

…………4分

…………5分

（1）
的最小正周期
…………7分

（2）令
…………8分

解得
…………10分

∴
的对称中心为
，

…………12分

17．（本题满分12分）

某校高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：

甲



乙



9　8

8

4 　8　9



2　1　0

9


6





（1）求
；

（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份样品中，求至多有一份得分在
之间的概率．

17．解：（1）依题意得
…………2分

解得
…………4分

（2） 从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果有：（88,89），（88,90），（88,91），（88,92），（89,90），（89,91），（89,92），（90,91），（90,92），（91,92） …………6分

共10种 …………7分

其中至多有一份得分在
之间的所有结果有：（88,91）