佛山市南海区2014届普通高中高三质量检测理科数学试题

2013.8

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合
，则
等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．已知
是实数，
是纯虚数，则
等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．已知
为等差数列，其前
项和为
，若
，
，则公差
等于（ ）（A）
（B）
（C）
（D）

4．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程
有有理实数根，那么
，
，
中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是：

（A）假设
，
，
至多有一个是偶数

（B）假设
，
，
至多有两个偶数

（C）假设
，
，
都是偶数

（D）假设
，
，
都不是偶数

5．若
，
是两个非零向量，则“
”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．
的展开式中含
的正整数指数幂的项数是（ ）

（A） 0 （B） 2 （C） 4 （D） 6

7．已知抛物线
的焦点
与双曲线
的右焦点重合，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则△
的面积为（ ）

（A） 4 （B） 8 （C） 16 （D） 32

8．给出下列命题：①在区间
上，函数
,
,
,
中有三个是增函数；②若
，则
；③若函数
是奇函数，则
的图象关于点
对称；④已知函数
则方程
有
个实数根，其中正确命题的个数为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．若
，且
，则
　 ．

10．已知圆
：
，若直线
与圆
相切，且切点在第四象限，则

．

11．一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为 ．

12．如右上图所示，
是以
为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用
表示事件“豆子落在正方形
内”，
表示事件“豆子落在扇形
（阴影部分）内”，则
　 ．

13．在等差数列
中，若
，则
．

类比上述结论，对于等比数列
（
），若
，
（
，

），则可以得到
．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图，圆
的割线
交圆

于
、
两点，割线
经过圆心．已知
，

，
．则圆
的半径
．

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
（
）中，直线
被圆
截得的弦长是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求
的最小正周期；

（2）当
时，求
的最大值．

17．（本小题满分12分）

为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

若该班男女生平均分数相等，求x的值；

若规定85分以上为优秀，在该10名男生中

随机抽取2名，优秀的人数记为
，求
的

分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，数列
的首项
，且点
在直线
上．

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前
项和
．

19．（本小题满分14分）

如图，边长为2的正方形
中，点
是
的中点，点
是
的中点，将△
、△
分别沿
、
折起，使
、
两点重合于点
，连接
，
．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分14分）

设
是曲线
上的任一点，
是曲线
上的任一点，称
的最小值为曲线
与曲线
的距离.

（1）求曲线
与直线
的距离；

（2）设曲线
与直线
（
）的距离为
，直线
与直线
的距离为
，求
的最小值.

21．（本小题满分14分）

已知实数组成的数组
满足条件：

①
； ②
．

（Ⅰ） 当
时，求
，
的值；

（Ⅱ）当
时，求证：
；

（Ⅲ）设
,且

，

求证：
．

南海区2014届普通高中高三质量检测理科数学试题参考答案

2013、8

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.

1-4 BA C D 5-8 CBDC

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）

(一)必做题(9～13题)

9、
10、
11、
12、
13、

（二）选做题：

14、
； 15、

三、解答题 本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．

16．【解析】
……1分

……2分

……3分

……4分

……5分

（1）
的最小正周期
……7分

（2）∵
，∴
……8分

∴当
，即
时，
取得最大值……10分

且最大值为
……12分

17．解：（1）依题意可得，

， 1分

∴ x=6. ------------------------------3分

（2）由茎叶图可知，10名男生中优秀的人数为6人。 -----------------------------4分

∴
, ------------------------------6分

, -----------------------------8分

, ---------------------------10分

0

1

2















∴
．

答：
的数学期望为
． -------------------------12分

18．解：（1）由
得
， --------1分

∴
---------2分

当
=1时，
， -----------------------------3分

综上
． --------------------------4分

∵点
在直线
上，∴
，又
， ------------------5分

∴
是以2为首项2为公比的等比数列，
． ------------------7分

（2）由（1）知，当
时，
； --------------8分

当
时，
， ---------------9分

所以当
时，
；

当
时，
①

则
② - ---------10分

②-①得：
-------------12分

即
， ---------------13分

显然，当
时，
，

所以
． ----------------14分

19．【解析】（1）在正方形
中，有
，
……1分

则
，
……2分

又
……3分

∴
平面
……4分

而
平面
，∴
……5分

（2）方法一：连接
交