山东省实验中学2011级第二次模拟考试

数学试题（理科）

2014.4

第I卷（选择题 50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
=

A.
B.
C.
D.

2.已知直线
平面，直线
，有下面四个命题：

①
； ②
；③
；④

其中正确的两个命题是

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

3.给出下列图象

其中可能为函数
的图象是

A.①③ B.①② C.③④ D.②④

4.已知圆
关于直线
对称，则圆
的方程为

A.
B.

C.
D.

5.已知函数
满足：①
；②在
上为增函数，若
，且
的大小关系是

A.
B.

C.
D.无法确定

6.已知G是
的重心，点P是
内一点，若
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

7.已知点
在由不等式组
确定的平面区域内，则点
所在平面区域的面积是

A.4 B.2 C.1 D.8

8.已知离心率为e的双曲线和离心率为
的椭圆有相同的焦点
是两曲线的一个公共点，若
等于

A.
B.
C.
D.3

9.设
为锐角，那么“
”是“
”的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知函数
若关于的方程
有六个不同的实根，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.阅读下面程序框图，则输出的数据S为______.

12.几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________m3.

13.已知对于任意的
，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是________.

14.如图，用四种不同颜色给三棱柱
的六个顶点涂色，要求四种颜色全都用上，每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法的种数为_________（用数字做答）.

15.设S为非空数集，若
，都有
，则称S为封闭集.下列命题

①实数集是封闭集； ②全体虚数组成的集合是封闭集；

③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则一定有
；

⑤若S，T为封闭集，且满足
，则集合U也是封闭集.

其中真命题是_________________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（本小题满分12分）

已知
的面积为1，且满足
的夹角为
.

（I）求
的取值范围；

（II）求函数
的最大值及取得最大值时的
值.

17.（本小题满分12分）

如图，正三棱柱
的所有棱长都为2，D为
中点.

（I）求证：
平面
；

（II）求二面角
的大小.

18.（本小题满分12分）

盒中装有5个乒乓球用作比赛，其中2个是旧球，另外3个是新球，新球使用后即成为了旧球.

（I）每次比赛从盒中随机抽取1个球使用，使用后放回盒中，求第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为2个的概率；

（II）每次比赛从盒中随机抽取2个球使用，使用后放回盒中，设第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为X，求X的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和为
，数列
是首项为0，公差为
的等差数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
，对任意的正整数
，将集合
中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为
，求数列
的通项公式.

（III）对（II）中的
，求集合
的元素个数.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的两个左、右焦点分别是
，且经过点
.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C上两点M，N使
面积的最大值.

21.（本小题满分14分）

已知函数
.

（I）若函数
上是减函数，求实数a的取值范围；

（II）令
，是否存在实数
（e是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存，说明理由；

（III）当
时，证明：
.