天津市红桥区2014届高三第二次模拟考试 数学（理） Word版含答案

本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟．

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么P(A
B)=P(A)+P(B)．

·如果事件A，B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)．

·棱柱的体积公式V=Sh．其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．

·锥体的体积公式V=
Sh．其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．

·球的体积公式V=
．其中R表示球的半径．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

气，

(1)复数
=

A．2i B．12i C． l+2i D． 2+i

(2)已知集合A={
}，集合B={
}，则
=

A．(3，
) B．[3，
) C．(
， 1]
[3，
) D．(
， 1)
(3，
)

(3)在ABC中，“
>0”是“ABC是钝角三角形”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(4)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组
， 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为

A．2 B．
C．
D．1

(5)己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是

A．108cm3 B．92cm3

C．84cm3 D．100 cm3

(6)函数
在定义域内零点可能落在下列哪个区间内

A．(0，1) B．(2，3)

C．(3，4) D．(4，5)

(7)以下命题中，真命题有

①已知平面、
和直线m，若m//且
，则
．

②“若x2<1，则-11，则x2>1”．

③已知△ABC，D为AB边上一点，若
，则
．

④极坐标系下，直线
与圆
有且只有l个公共点.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

(8)函数
的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1

A．
B．
C．1 D．

第II卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共12小题，共110分．

二．填空题：本大题共6小题。每小题5分．共30分．

(9)执行如右图所示的程序框图，其输出的结果是 ．

(10)若
展开式的常数项为60，则常熟a的值为 .

(11)已知函数
，关于x的方程
有且只有一个实根，则实数a的范围是 ．

(12)已知F是双曲线
的左焦点，定点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 .

(13)如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 ．

(14)某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度(如下图所示)，设等级为n级需要的天数为an(n∈N*)，则等级为50级需要的天数a50= .

三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

(15)(本小题满分13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，且
．

(I)求角A，B的大小；

(II)设函数
，求函数
的周期及其在[
，
]上的值域．

(16)(本小题满分13分)

某工厂生产A，B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种玩具各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70,76)

[76,82)

[82,88)

[88,94)

[94,100)



玩具A

8

12

40

32

8



玩具B

7

18

40

29

6



( I )试分别估计玩具A、玩具B为正品的概率；

(Ⅱ)生产一件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(I)的前提下，

(i)记X为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

(ii)求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率．

(17)(本小题满分13分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC， ABC=PAD=90o，侧面PAD底面ABCD．若PA=AB=BC=
AD．

(I)求证：CD平面PAC；

(II)侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD?若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)求二面角A—PD—C的余弦值．

(18)(本小题满分13分)

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(I)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{cn}对任意n∈N+均有
成立，求cl+c2+c3+……+c2014的值．

(19)(本小题满分14分)

已知A(-2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为2
．

(I)求椭圆C的方程及离心率；

(II)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

(20)(本小题满分14分)

已知函数
(a为实数)．

(I)当a=5时，求函数
在x=1处的切线方程；

(Ⅱ)若在区间[t，t+2](t>0)上，至少存在一个x0∈[t，t+2]，使得m>f (x0)成立。求实数m的取值范围；

(Ⅲ)若存在两不等实根xl，x2∈[
，e]，使方程
成立，求实数a的取值范围．

高三数学（理）答案（2014、05）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

A

B

D

C

C

A



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．
10．4 11．(1，＋∞) 12．9 13．4 14．2700

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）∵
，由正弦定理得
，即
………2

∴
或
（舍去），
，则
…………..4

（Ⅱ）

…………………………………8

…………………………………………………………..10

∵

，则
………………………….11

而正弦函数
在
上单调递增，在
上单调递减

∴函数
的最小值为
，最大值为
，

即函数
在
上的值域为
． …………………..13

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）玩具A为正品的概率约为
． ………………1

玩具B为正品的概率约为
． ………………2

（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量
的所有取值为
． ………………3

　　　
；
；

；
． ………………7

所以，随机变量
的分布列为























………………8

． ………………10

（ⅱ）设生产的5件玩具B中正品有件，则次品有
件.

依题意，得
， 解得
．

所以
，或
． ………………11

设“生产5件玩具B所获得的利润不少于140元”为事件，

则
． ………………13

17．（本小题满分13分）

解法一：

因为
，

所以
．

又因为侧面
底面
，

且侧面
底面
，

所以
底面
．

又因为
，

所以
，
，
两两垂直． ……………………………………1

分别以
，
，
为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图．

设
，则
，
，
，
，
．

（Ⅰ）
，
，
,

所以
，
，所以

，

．

又因为
， 所以
平面
． ………………………………4

（Ⅱ）在
上存在中点，使得
平面

证明如下：侧棱
的中点是，则
，
．

设平面
的一个法向量是
，则

因为
，
，

所以
取
，则
．

所以
， 所以
．

因为
平面
，所以
平面
． ………………………………8

（Ⅲ）由已知，
平面
，所以
为平面
的一个法向量．

由（Ⅱ）知，
为平面
的一个法向量．

设二面角
的大小为
，

即二面角
的余弦值为
． ………………………………13

解法二：（Ⅰ）因为
，所以
．

又因为侧面
底面
，且侧面
底面
，

所以
底面
．而
底面
，所以

．

在底面
中，因为
，
，

所以
，


．

又因为
， 所以
平面
． ……………………………4

（Ⅱ）在
上存在中点，使得
平面
，

证明如下：取
的中点，

连结
，
，
，

则
，且
．

由已知
，

所以
． 又
，

所以
，且
，

所以四边形
为平行四边形，所以
．

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． ……………8

（Ⅲ）取
中点
，连结
，

则

．

又因为平面
平面
，

所以
平面
．

过