2014年5月抚州五校高三联考数学（理）试卷

（广昌一中、南丰一中、金溪一中、崇仁一中、南城一中）

命题学校：南城一中 南丰一中

一、选择题（本大题共10小题。每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷的相应位置上）

1.若复数满足：
，则的虚部为（ ）

A.
B. 1 C. D.

2.设全集
是实数集，
，
，则
=( )

A.
B.

C.
D.

3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果
=( )

A.4 B.5

C.6 D.7

4. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．48 B．48+8

C．32+8
D．80

5.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项；

B．若数列{
}有最大项，则d<0；

C．若对任意n∈N*，均有
＞0，则数列{
}是递增数列；

D．若数列{
}是递增数列，则对任意n∈N*，均有
＞0；

6．下列四个命题中

①设有一个回归方程y=2－3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②命题P:“
"的否定
；

③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（X＞1）=p，则P（-l＜X＜0）
；

④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6．679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（ ）

本题可以参考独立性检验临界值表：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.535

7.879

10.828



 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

已知锐角
满足：
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8.函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2 D，当
时，都有f（x1）≤ f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②
；③f（l－x）=1－f（x），则
等于（ ）

A．
B．
C．1 D．

9.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点， PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是（ ）

A．(
，+) B.(
，+)

C. (
，+) D.(0，+)

10.如图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和
的

两矩形所构成．设函数
是图中阴影部分介于平行线

及轴之间的那一部分的面积，则函数
的图象大致为（ ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的相应位置上）

11. 在
的展开式中，含
项的系数是
，若
，

则
.

12、设
是函数
，
的一个零点，则函数
在区间
内所有极值点之和为 ．

13. 已知
，且
，则
的最小值是 .

14.已知函数
，若
，且
，则
_________________

15. 选做题（考生注意：请在①②两题中，任选做一题作答，若多做，则按①题计分）

①．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线
（为参数，
）上的点到曲线
的最短距离是

②．（不等式选讲选做题）若存在实数使
成立，则实数的取值范围是 .．

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卷相应题目的答题区域内作答)

16.（本小题满分12分）在△ABC中，已知
．求：

⑴AB的值；

⑵
的值．

17. （本小题满分12分）已知正方形
的边长为2，
分别是边
的中点．

⑴在正方形
内部随机取一点，求满足
的概率；

⑵从
这八个点中，随机选取两个点，

记这两个点之间的距离为
，求随机变量
的分布列与数学期望
．

18．（本小题满分12分）已知正项数列
的前项和为
且满足

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）当
，
（
均为正整数）时，求
和
的所有可能的乘积
之和.

19. （本小题满分12分）在如右图的几何体中，四边形
为正方形，四边形
为等腰梯形，
∥
，
，
，
．

⑴求证：
平面
；

⑵求直线
与平面
所成角的正弦值．

20. （本小题满分13分）已知椭圆
的左右焦点分别为
，为半焦距，若以
为圆心，
为半径作圆
，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且
的最小值不小于
，

⑴求椭圆离心率的取值范围；

⑵设椭圆的短半轴长为1，圆
与轴的右交点为
，过点
作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点,与圆
交于
两点，若在以
为直径的圆上，求
的最大值.

21. （本小题满分14分）设函数
，其图象与轴交于
，
两点，且
．

⑴求的取值范围；

⑵证明：
（
为函数
的导函数）；

⑶设
,若
对
恒成立，求取值范围

2014年5月抚州五校高三联考数学（理）试卷

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

B

B

D

C

C

A

C

C



选择题

填空题

11.
； 12.
； 13.
； 14. ； 15． ①
；②

三、解答题

16. 解：（1）（方法1）因为
，所以
，即
，亦即
，故
． …………………… 6分

（方法2）设A，B，C的对边依次为a，b，c，、则由条件得
．

两式相加得
，即
，故
． ………… 6分

（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，则由条件得
．

由余弦定理得
，

两式相加得
，故
． …………………… 6分

（2）

由正弦定理得

． …… 12分

17.解：（1）所有点构成的平面区域是正方形
的内部，其面积是
． 满足
的点构成的平面区域是以
为圆心，
为半径的圆的内部与正方形
内部的公共部分，它可以看作是由一个以
为圆心、
为半径、圆心角为
的扇形
的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△
和△
）内部构成．其面积是
．

所以满足
的概率为
． …………………… 6分

（2）从
这八个点中，任意选取两个点，共可构成
条不同的线段．其中长度为1的线段有8条，长度为
的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为
的线段有8条，长度为
的线段有2条．

所以
所有可能的取值为
．

且
，
，
，

，
．

所以随机变量
的分布列为：



























随机变量
的数学期望为

……… 12分

18.解：（Ⅰ）∵
，

两式相减得
，

由
得
，又

∴ 数列
是首项为
，公比为的等比数列， ∴
6分

（Ⅱ）由
和
的所有可能乘积
（
，
）

可构成下表

设上表第一行的和为
，则

于是
…＋
＝

12分

19.解：（1）证明：因为
，

在△
中，由余弦定理可得
．

所以
．所以
．

因为
，
，
、
平面
，

所以
平面
．…………………5分

（2）解法1：由（1）知，
平面
，
平面
，

所以
． 因为平面
为正方形，所以
．

因为
，所以
平面
．

取
的中点
，连结
，
，

因为
是等腰梯形，且
，
，

所以

．所以△
是等边三角形，且
．

取
的中点
，连结
，
，则
．

因为
平面
，
，所以
．

因为
，所以
平面
．

所以
为直线
与平面
所成角．

因为
平面
，所以

．因为
，

在
△
中，

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．……………………12分

解法2：由（1）知，
平面
，
平面
，

所以
．因为平面
为正方形，所以
．

因为
，所以
平面
．所以
，
，
两两互相垂直，

建立如图的空间直角坐标系
．因为
是等腰梯形，且
，
所以
．不妨设
，则
，
，
，
，

……………………12分

20.解：（1）根据题意可设切线长
，所以当且仅当
取得最小值时取得