数学（文史类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回.

参考公式:

如果事件A, B互斥, 那么

如果事件、相互独立, 那么

如果事件在一次实验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中事件发生次的概率

球的表面积公式

球的体积公式

其中表示球的半径.

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

1.必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.

2.本部分共10个小题，每小题5分，共50分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．已知全集
,则
（ ）

2．为虚数，则复数
（ ）

3.“
”是“函数
,且
是偶函数”的( )

（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件 （ D） 既不充分也不必要条件

4．已知双曲线的离心率为，焦点是
，则双曲线的方程为（ ）

5．函数周期为，其图像的一条对称轴是
，则此函数的解析式可以为( )

6．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：
），可得这个几何体的体积是（ ）

7．执行如图所示的程序框图，输出的值为( )

8．设
，则（ ）

9.若
,函数
的最小值是（ ）

10．设函数
，若
有且仅有三解，则的取值范围是（ ）

第二卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

1.必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.

2.本部分共11小题，共100分.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．在面积为的
的边
上任取一点，则
的面积大于
的概率是_______

12．已知点
则与
同方向的单位向量是_____________

13．若点
为圆
的弦
的中点，则弦
所在直线方程为_______________

14．函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于___________

15、函数
，当
变化时，
恒成立，则实数的取值范围是___________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

（1）当
时，求
的值域；

（2）
的内角
的对边分别为
，
,
，求以及
的值.

17．（本小题满分12分）

某学校的组织学生参加体育二课堂训练，三个项目的人数分布如下表（每名学生只能参加一项）：

短跑

长跑

跳高



男生

30

3

28



女生

25

2







学校要对这三个项目学生参加情况进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个项目中抽取人，结果参加跳高的项目被抽出了人.

（Ⅰ）求跳高项目中女生有多少人；

（Ⅱ）从参加长跑的名男生和名女生中随机选出人参加比赛，求这两名同学是一名男生和一名女生的概率.

18．（本小题满分12分）

四棱锥
，底面
为平行四边形，侧面
底面
.已知
，
，
，为线段
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
体积.

19.（本小题满分12分）

已知数列
的
.

（1）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）若
，且
，求
；

20. （本小题满分13分）

已知偶函数
在点
处的切线与直线
垂直，函数

.

（Ⅰ）求函数
的解析式.

（Ⅱ）当
时，求函数
的单调区间和极值点；

21．（本小题满分14分）

平面内两定点
的坐标分别为
，P为平面一个动点，且P点的横坐标
. 过点P作PQ垂直于直线
，垂足为Q，并满足
.

（1）求动点P的轨迹方程.

（2）当动点P的轨迹加上
两点构成的曲线为C. 一条直线
与以点
为圆心，半径为2的圆
相交于
两点. 若圆
与轴的左交点为F，且
. 求证：直线
与曲线C只有一个公共点.

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

C

A

D

B

C

B

B

B



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、
； 12、
； 13、
； 14、； 15．

解答题

16、（本小题满分12分）

解：（1）

，

，
，
．---6分

（2）由条件得
，

，化简得
，

由余弦定理得
，
． ---------------------12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）根据分层抽样的要求,每层的抽样比相等,所以有
，解此方程可得的值.（Ⅱ）从长跑项目的名男生和名女生中随机选出人,共有
种不同的方法，由于是随机抽取的，每个结果出现的可能性是相等的,故可用古典概型.

试题解析：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个项目中抽取人，跳高被抽出了人

6分

（Ⅱ）从长跑项目的名男生和名女生中随机选出人,共有
种不同的方法,由于是随机抽取的,每个结果出现的可能性是相等的；设
“这两名同学是一名男生和一名女生”，则事件共包含个基本事件，
12分

18．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ) 连结
交
于点，连结

由于底面
为平行四边形
为
的中点. 2分

在
中，为
的中点
3分

又因为
平面
，
平面
，

平面
. 5分

（2）由
，
知，
是直角三角形

过
分别作
的垂线交
于
，由侧面
底面
可得
底面
，
底面
，且

所以

19. （本小题满分12分）

解：（1）因为

所以
，所以
，又
因此数列
是以2为首项，2为公比的等比数列，所以
，所以
-----------------6分

（2）因为

所以
①

②

①-②得：

因此
-----------------12分

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
为偶函数，所以

因为
，由题意知：

------------------------3分

（Ⅱ）
由题意知，
的定义域为
，

当
时，
有两个不同解，
，
，

时，
，

即

时，
，
随的变化情况如下表：























极小值





由此表可知：
时，

函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为

有唯一极小值点

当
时，
，

此时，
，
随的变化情况如下表：































极大值



极小值





由此表可知：
时，

函数
的单调递增区间为
，
，

单调递减区间为

函数
有一个极大值点
和一个极小值点
；

综上所述：

时，

函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为

有唯一极小值点

时，

函数
的单调递增区间为
，
，

单调递减区间为

函数
有一个极大值点
和一个极小值点
.

21、（本小题满分14分）

解：（1）设
，
则：

所以：
，即：

，
-------------------4分

（2）由(1)知曲线C的方程为
,圆M的方程为
，则

设

①当直线
斜率不存在时，设
的方程为：
，则：

，

因为
，所以：
，即：

因为点A在圆M上，所以：
代入上式得：

所以直线
的方程为：
，与曲线C只有一个公共点. -------------------5分

经检验x=-2不合题意舍去

所以 x=2 --------------------6分

②当直线
斜率存在时，设
的方程为：
，联立直线与圆的方程：

，消去得：

所以：
--------------------------8分

因为：
，且

所以：

又因为：
，

所以：

代入得：
，化简得：

-------------------------------------------------10分

联立直线
与曲线C的方程：

，消去得：

--------------12分

因为：
，所以
，即直线
与曲线C只有一个公共点-------------14分