江西省吉安一中2014届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是是符合题目要求的。

1. 复数
在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知全集
，
，
，则（?uM）
N为

A.
B.
C.
D.

3. 下列说法正确的是

A. 命题“存在
”的否定是“任意
”

B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C. 函数
在其定义域上是减函数

D. 给定命题、，若“且”是真命题，则
是假命题

4. 已知函数
的最小正周期为，为了得到函数
的图象，只要将
的图象

A. 向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度

5. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是

A.
B.
C.
D.

6. 方程
表示的曲线是

A. 一个圆和一条直线 B. 一个圆和一条射线

C. 一个圆 D. 一条直线

7. 已知函数
是周期为2的周期函数，且当
时，
，则函数
的零点个数是

A. 9 B. 10 C. 11 D. 18

8. 已知函数
对任意的
满足
（其中
是函数
的导函数，则下列不等式成立的是

A.
B.

C.
D.

9. 如图：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱A1B1CD的中点，点M是EF的动点，FM=，过直线AB和点M的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为
，则函数
的大致图像是

10. 抛物线
与直线
相交于A、B两点，点P是抛物线C上不同A、B的一点，若直线PA、PB分别与直线
相交于点Q、R，O为坐标原点，则
的值是

A. 20 B. 16 C. 12 D. 与点P位置有关的一个实数

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

11. （1）（坐标系与参数方程）曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（t为参数），以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线
上的点与曲线
上的点最近的距离为

A. 2 B.
C.
D.

（2）若不等式
对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是

A. （0,3） B. （－1,1） C. （1,3） D. （1,4）

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

12. 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 。

13. 实验员进行一项实验，先后要实施5个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C或D实施时必须相邻，实验顺序的编排方法共有 种。

14. 观察下列等式

23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于 。

15. 如图放置的边长为l的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点。设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：①函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x+2)=f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2，3]上单调递减；④
。其中判断正确的序号是 。

四、解答题：本大题共6个题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分12分)

已知公比不为1的等比数列{
}的首项
，前n项和为
，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列。

(1)求等比数列{
}的通项公式；

(2)对n∈N+，在
与
之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为
，求数列{
}的前n项和
.

17. (本小题满分12分)

某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元。现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：

现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率。

(1)计算新工人乙生产三件产品A，给工厂带盈利大于或等于100元的概率；

(2)记甲乙分别生产一件产品A给工厂带的盈利和记为X，求随机变量X的概率分布和数学期望。

18. (本小题满分12分)

如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB、AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置，使得
.

(1)求五棱锥A'－BCDFE的体积；

(2)求平面A'EF与平面A'BC的夹角.

19. (本小题满分12分)

如图已知△ABC中，AB=l，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足∠MAN=30°，
(点A、M、N按逆时针方向排列)。

(1)若
，求BN的长；

(2)求△ABN面积的最大值。

20. (本小题满分13分)

已知椭圆
的左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，过点F且倾斜角为
的直线
交椭圆于C、D两点，椭圆C的离心率为
，
。

(1)求椭圆C的方程；

(2)若
是椭圆上不同两点，
⊥x轴，圆E过点
，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的内切圆。问椭圆C是否存在过点F的内切圆？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

21. (本小题满分14分)

已知函数
。

(1)若b=0，讨论函数
在区间(0，)上的单调性；

(2)若a=2b且对任意的x≥0，都有f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围。

【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

D

B

C

D

B

A

C

A





二、选做题：本题共5分。

11. （1）D；（2）C

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

12.
13. 24 14. 10 15. ①②④

四、解答题：本大题共6个题，共75分。

16. 解：（1）因为
成等差数列，

所以
， 2分

即
，所以
，因为
，所以
， 4分

所以等比数列
的通项公式为
； 6分

（2）
， 9分

， 12分

17. 解：甲生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为
，3分

乙生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为
， 6分

（1）新工人乙生产三件产品A，给工厂带盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：

8分

（2）随机变量X的所有可能取值为100,80,60,40,20,-20。

所以，随机变量X的概率分布为：

10分

随机变量X的数学期望
（元） 12分

18. 解：（1）连接AC，设
，由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,所以EF⊥平面A'HC，从而平面A'HC⊥平面ABCD， 2分

过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O，

则A'O⊥平面ABCD 4分

因为正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，

得到：

所以
，

所以

所以五棱锥
的体积
； 6分

（2）由（1）知道A'O⊥平面ABCD，且CO=
，即点O是AC、BD的交点，

如图以点O为原点，OA、OB、OA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
，B（0,3
,0），C（－3
,0,0），D（0,－3
,0），E（
,2
,0），F(
,－2
,0) 7分

设平面A'EF的法向量为
，则

，

，

令
，则
9分

设平面
的法向量
，则

，

令
，则
，即
， 11分

所以
，即平面
与平面
夹角
12分

19. 解：（1）由
得点N在射线AC上，
，因为
的面积等于
与
面积的和，所以

，得：
， 3分

又
，所以
，即AN=4，

，即
； 6分

（2）设
，则
，因为
的面积等于
与
面积的和，所以

，

得：
， 7分

又
，
，所以
，

即
，

所以
的面积

即
10分

（其中：

为锐角），

所以当
时，
的面积最大，最大值是
。 12分

20. 解：（1）因为离心率为
，所以a=2b，
，

所以椭圆的方程可化为
，直线
的方程为
， 2分

由方程组
，得：
，即

， 4分

设C(x1, y1)，D(x2, y2)，则
， 5分

又

，所以
，所以b=1，椭圆方程是
； 7分

（2）由椭圆的对称性，可以设P1(m, n)，P2(m,－n)，点E在x轴上，设点R（t,?0），则圆E的方程为：
，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是
，

设点M(x, y)是椭圆C上任意一点，则
，9分

当x=m时，
最小，所以
① 10分

又圆E过点F，所以
② 11分

点P1在椭圆上，所以
③ 12分

由①②③解得：
，又
时，
，不合，

综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（
） 13分

21. 解：（1）b=0时，
，则
， 1分

当
时，
，所以函数
在区间（0，）上单调递减； 2分

当
时，
所以函数
在区间（0，）上单调递增； 3分

当
时，存在
，使得
，即
， 4分

时，
，函数
在区间（0，
）上单调递增， 5分

时，
，函数
在区间（
，）上单调递减。 6分

（2）a=2b时，
,

恒成立，等价于
， 7分

记
，则
， 8分

当
，即
时，
，g(x)在区间
上单调递减，

所以当
时，
，即
恒成立； 10分

当
，即
时，记
，则
，

存在
，使得
，

此时
时，
，
单调递增，
，即
，

所以
，即
，不合题意； 12分

当
时，
，不合题意； 13分

综上，实数a的取值范围是
14分