华东师大二附中2015届暑期练习（二）

数学试卷

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1． 设
,
，则
=

2．计算：
.

3． 二项展开式
中的常数项为 ．（用数字作答）

4．已知一个关于
的二元一次方程组的增广矩阵是
，则
.

5.已知点G为(ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且
，
，则
的值为________________.

6.直线
的方程为
，则直线
的一个法向量是 .

7. 函数
的最大值为 .

8. 在极坐标系中，点
到直线
的距离等于________.

9．若直线
与曲线
（
为参数）没有公共点，则实数
的取值范围是____________.

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是
，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为________
．

11.已知函数
的反函数．若
的图象不经过第二象限，则
的取值范围 ．

12．知离散型随机变量x的分布列如右表。若
，
，则
_____，
_____。

X



0

1

2



P

a

b

c







13．已知函数
是定义在
上的奇函数.当
时，
，则
时，

不等式
的解集为 ．

14．设
，圆
：
与
轴正半轴的交点为
，与曲线
的交点为
，直线
与
轴的交点为
.若数列
满足：
.则常数
= 使数列
成等比数列；

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.

15．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是( )

（A）.锐角三角形 （B）.直角三角形 （C）.钝角三角形 （D）.以上都有可能

16． 为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象 ( )

（A）向左平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C）向左平移
个单位长度 （D）向右平移
个单位长度

17．等差数列
中，公差
，且
成等比数列，则
（ ）

（A）．
（B）．
（C）．
（D）．

18．如果函数y
的图像与曲线
恰好有两个不同的公共点，则实数
的

取值范围是 　　　 （ ）

（A）．
（ B）．
（C）．
∪
（D）．
∪

三、解答题

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，每小题满分各6分．

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.

（1）求证：DA1⊥ED1 ；

（2）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求
的值；

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

已知虚数
，
，

（1）若
，求
的值；

（2）若z1, z2是方程3x2(2x+c=0的两个根，求实数c的值。

21． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

气象台预报，距离
岛正东方向300km的
处有一台风形成，并以每小时30km的速度向北偏西
的方向移动，在距台风中心处不超过270km以内的地区将受到台风的影响.

问：(1)从台风形成起经过3小时，
岛是否受到影响（精确到0.1km）？(2)从台风形成起经过多少小时，S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到0.1小时)

22.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题①满分4分，②满分6分；第2小题满分6分．

已知椭圆
的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为
、
，

抛物线

的准线与
轴交于
，椭圆
与抛物线
的一个交点为
.

（1）当
时， ①求椭圆
的方程；②直线
过焦点
，与抛物线
交于
两点，若弦长
等于
的周长，求直线
的方程；

（2）是否存在实数
，使得
的边长为连续的自然数.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

在数列
中，若
（
，
，
为常数），

则称
为
数列．

（1）若数列
是
数列，
，
，写出所有满足条件的数列
的前
项；

（2）证明：一个等比数列为
数列的充要条件是公比为
或
；

（3）若
数列
满足
，
，
，设数列
的前
项和为
．是

否存在正整数

，使不等式
对一切
都成立？若存在，求

出

的值；若不存在，说明理由

(参考答案)

考生注意：

1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚.并在规定的区域内贴上条形码。

2. 本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟.

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1． 设
,
，则
= [0,2]

2．（理科）计算：
2

3． 二项展开式
中的常数项为
．（用数字作答）

4．（理科）已知一个关于
的二元一次方程组的增广矩阵是
，则
. 6

5.（理科）已知点G为(ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且
，
，则
的值为________________.

解：M、G、N三点共线(

又G为(ABC的重心(
，所以

6.（理科）直线
的方程为
，则直线
的一个法向量是 .

答案
其中

7. （理科）函数
的最大值为
.

8. （理科）在极坐标系中，点
到直线
的距离等于____
____.

9．(理科)若直线
与曲线
（
为参数）没有公共点，则实数
的取值范围是______
或
.______.

10.(理科)已知圆锥底面半径与球的半径都是
，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为____
____
．

11.(理科)已知函数
的反函数．若
的图象不经过第二象限，则
的取值范围
．

解得
的图象不过第二象限, 只需

解得

12．（理科）知离散型随机变量x的分布列如右表。若
，
，则
_____，
_____。

X



0

1

2



P

a

b

c







解：由题知
，
，

，解得
，
.

13．已知函数
是定义在
上的奇函数.当
时，
，则
时，

不等式
的解集为 ．

14．设
，圆
：
与
轴正半轴的交点为
，与曲线
的交点为
，直线
与
轴的交点为
.若数列
满足：
.则常数
= 2或4 使数列
成等比数列；

解,
与圆
交于点
,则
,

由题可知，点
的坐标为
，从而直线
的方程为
, 由点
在直线
上得:
, 将
，
代入化简得:
.

由
得：
, 又
，故
，

，

令
得：

由等式
对任意
成立得：

，解得：
或

故当
时，数列
成公比为
的等比数列；

当
时，数列
成公比为2的等比数列。

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.

15．（理科）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是( C )

（A）.锐角三角形 （B）.直角三角形

（C）.钝角三角形 （D）.以上都有可能

16． 为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象 ( D )

（A）向左平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C）向左平移
个单位长度 （D）向右平移
个单位长度

17．等差数列
中，公差
，且
成等比数列，则
（ B ）

（A）．
（B）．
（C）．
（D）．

18．（理科）如果函数y
的图像与曲线
恰好有两个不同的公共点，则实数
的

取值范围是 　　　 （ A ）

（A）．
（ B）．
（C）．
∪
（D）．
∪

解：数形结合，分类讨论。

①当
时，曲线
表示两条平行直线
，与曲线y
有两个公共点；

②当
时，曲线
表示圆
，与曲线y
有三个公共点

③当
时，曲线
表示焦点在
轴上的椭圆
，与曲线y
有两个公共点；

④当
时，曲线
表示焦点在
轴上的椭圆
，与曲线y
有四个公共点；

⑤当
时，曲线
表示焦点在
轴上的双曲线
，考虑双曲线的渐近线，当
时与曲线y
有两个个公共点；所以
答案选A

三、解答题

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，每小题满分各6分．

（理科）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.

（1）求证：DA1⊥ED1 ；

（2）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求
的值；

解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0），

B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）

（1）证明：
，

所以DA1⊥ED1. ----------4分

（2）设平面CED1的一个法向量为
,则

，而
，

所以
取z=1,得y=1,x=1-m， 得
.

因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以

所以
，所以
，解得m=
.-----12分

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

（理科）已知虚数
，
，

（1）若
，求
的值；

（2）若z1, z2是方程3x2(2x+c=0的两个根，求实数c的值。

解（１）∵
， ………………2分

∵
，
， ………5分

∴cos(α
β)=
. ………6分

（2）由题意可知cos(=cos(，sin(=(sin( ………8分

且
………10分 (
，经检验满足题意。 ………12分

21． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．

（理科）气象台预报，距离
岛正东方向300km的
处有一台风形成，并以每小时30km的速度向北偏西
的方向移动，在距台风中心处不超过270km以内的地区将受到台风的影响.

问：(1)从台风形成起经过3小时，
岛是否受到影响（精确到0.1km）？(2)从台风形成起经过多少小时，S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到0.1小时)

解(1) 设台风中心经过3小时到达点B，由题意，在
中，SA=300，AB=90，
，根据余弦定理，

-------4分

＜270 .

所以，经过3小时S岛已经受到了影响.------------6分

(2)可设台风中心经过t小时到达点B，由题意得，

．在
中，SA=300，AB=30t， 由余弦定理，

------10分

若S岛受到台风影响，则有　
，而
,

化简整理得
,解此不等式得
．即
的范围大约在2.5小时与7.4小时之间 ． 所以从台风形成起，大约在2.5小时S岛开始受到影响，约持续4.9小时以后影响结束.----14分

22.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题①满分4分，②满分6分；第2小题满分6分．

（理科）已知椭圆
的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为
、
，

抛物线

的准线与
轴交于
，椭圆
与抛物线
的一个交点为
.

（1）当
时， ①求椭圆
的方程；②直线
过焦点
，与抛物线
交于
两点，若弦长
等于
的周长，求直线
的方程；

（2）是否存在实数
，使得
的边长为连续的自然数.

22.解：（1）①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,

当
=1时，由题意得，a=2c=2,
,

所以椭圆的方程为
.（4分）

②依题意知直线
的斜率存在，设
，由
得，

，由直线
与抛物线
有两个交点，可知
.

设
，由韦达定理得
，

则

=
………（6分）

因为
的周长为
，所以
， ………（8分）

解得
，从而可得直线
的方程为
（10分）

（2）假设存在满足条件的实数
，由题意得
，又设


，设
，对于抛物线M，有
对于椭圆C，由
得

………（13分）

由

解得：
，所以
，从而
，因此，
的边长分别为
、
、
，

当
时，使得
的边长为连续的自然数. ………（16分）

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

（理科）在数列
中，若
（
，
，
为常数），

则称
为
数列．

（1）若数列
是
数列，
，
，写出所有满足条件的数列
的前
项；

（2）证明：一个等比数列为
数列的充要条件是公比为
或
；

（3）若
数列
满足
，
，
，设数列
的前
项和为
．是否存在正整数

，使不等式
对一切
都成立？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由

解：（1）由
是
数列，
，
，有
，

于是
,

所有满足条件的数列
的前
项为：

；
；
；
． ------------------4分

（2）（必要性）设数列
是等比数列，
（
为公比且
），则

，若
为
数列，则有

（
为与
无关的常数）

所以
，
或
． ------------------7分

（充分性）若一个等比数列
的公比
，则
，
，所

以
为
数列；

若一个等比数列
的公比
，则
，

，所以
为
数列----10分

（3）因
数列
中
，则

，

所以数列
的前
项和
------------------12分

假设存在正整数

使不等式
对一

切
都成立．即

当
时，
，又
为正整数，

． -----------------15分

下面证明：
对一切
都成立．

由于

所以

------------------18分