将军中学2014届高三上学期第四次大考数学（理）试题

命题：方代祥 审题：文祥瑞 12.7.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，且
，则实数的取值集合是

2.命题“
”的否定是

A．
B．

C．
D．

3．奇函数
满足对任意
都有
成立，且
，

则
的值为 （ ）

A．8 B． 6 C． 4 D． 0

4.若曲线
方程为
，且
,则曲线
的离心率为

或

或

5，若点
满足

，区域内整点不少于18个，则的取值范围为

6．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为（）

A．(－2,1) B．(0,2) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)

7.给出下列命题：

（1）若数列
的前项和

，则
是等差数列；

（2）若数列
满足
为常数，则数列
是等比数列；

（3）若数列
的前项和
（
为是非零常数,
），则数列
是等比数列；

（4）
是等差数列，且公差
，则
是递增数列。

其中正确的命题有（ ）个

8.同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线
对称；③在
上是增函数”的一个函数是

A.
B.

C.
D.

9.已知函数
的导函数图象如图所示，若
为锐角三角形，则一定成立的是

A．

B．

C．

D．

10．定义
表示不超过的最大整数，记
，其中对于
时，函数
和函数
的零点个数分别为
则（　）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11.向量

，若（
， 则
______.

12.执行以下程序框图，若
，则输出的＝　　　　　.

13.已知圆的方程为
，圆的弦
，设
、
，则
______________

14. 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则三棱锥外接球O的表面积等于________.

三．选做题（考生从（1）（2）选做一题，如两题都做则以第（1）题给分，本小题满分5分）

15.（1）在极坐标系中直线
：
与

,为常数,
）的位置关系是　　　　

（2）不等式
的解集为　　　　

四、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

的外接圆半径
，角
的对边分别是
，且

（1）求角和边长
；

（2）求
的最大值及取得最大值时的
的值，并判断此时三角形的形状.

17.（本小题满分12分）

如图，从到有6条网线，数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从中任取3条网线且使每条网线通过最大信息量，选择任何一条线路是等可能的，设这三条网线通过的最大信息之和为
.

（1）当
时，线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；

（2）求
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
⊥平面
，
，
，
，是
的中点．

（1）求证：
//平面

（2）在线段
上是否存在点，使二面角
的大小为
？若存在，求出

的长；若不存在，请说明理由.

19. （本小题满分12分）

已知函数
的图像经过点
及
，
为数列
的前n项和．

(1)求
及
；

(2)若数列{cn}满足
求数列{cn}的前n项和

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
:
的离心率为
,且椭圆
上一点
到点
的距离最大值为4,过点
的直线交椭圆
于点
.

(1)求椭圆
的方程;

(2)设为椭圆上一点,且满足
,当
时,求实数的取值范围.

21. （本小题满分14分）

已知函数
，
（
）

（1）若函数
存在极值点，求实数b的取值范围；

（2）求函数
的单调区间；

（3）当
且
时，令
， (
)，
(
)为曲线y=
上的两动点，O为坐标原点，能否使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由

将军中学2013－2014学年度第一学期高三

第四次大考数学（理）试卷参考答案

（2）由
，
，

得

（当且仅当
时取等号）

所以，
（当且仅当
时取等号）

此时

综上，
的最大值
，取得最大值时，此时三角形是等边三角形

17解：（1）三条网线共有20种选择，其中
的有5种

∴

（2）

分布列：

10

11

12

13

14

15





















18.

则

又在
中，
，

所以

所以在线段
上存在点，使二面角
的大小为
，

此时
的长为
.

19.解：(1)∵函数f(x)＝m·2x＋t的图像经过点A(1,2)，B(2,4)，

解得
∴f(x)＝2x，即Sn＝2n，则

an＝2n－1.(

(2)∵cn＝3n·2n－n，（

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝3(2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)+6

令S′n＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

2S′n＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②

①－②得－S′n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，

20.解:(1)∵
∴

则椭圆方程为
即
设
则

当
时,
有最大值为

解得
∴
,椭圆方程是

(2)设
方程为

由
整理得
.

由
得
.

∴
则
,

由点P在椭圆上,得
化简得
①

又由
即
将
,

代入得
化简,得

则
, ∴
② 由①,得

联立②,解得
∴
或

21解：（1）
，若
存在极值点，

则
有两个不相等实数根。所以
，

解得

(2)

当
时，
，函数
的单调递增区间为
；

当
时，
，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
。

（3） 当
且
时，

假设使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。

则
且
。

不妨设
。故
，则
。

，
该方程有解

当
时，

，代入方程
得

即
，而此方程无实数解；

当
时，
则
；

当
时，

，代入方程
得
即
，

设
，则
在
上恒成立。

∴
在
上单调递增，从而
，则值域为
。

∴当
时，方程
有解，即方程
有解。

综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在
两点，

使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。