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2014年重庆一中高2015级高三上期第一次月考

数 学 试 题 卷（文科）2014.9

一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知
为虚数单位，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、命题“若函数
在
上是减函数，则
”的否命题是（ ）

A．若函数
在
上不是减函数，则

B．若函数
在
上是减函数，则

C．若
，则函数
在
上是减函数

D．若
，则函数
在
上不是减函数

3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的

成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为 16.8，则
的值分别为（ ）

A． 5,2 B． 5,5 C． 8,5 D．8,8

4、下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5、阅读右边程序框图，为使输出的数据为
，

则判断框中应填入的条件为（ ）

A．
B．

C．
D．

6、设
，
，
,则（　　 ）

A．
B．

C．
D．

7、若函数
的相邻两个零点的距离为
，且它的一条对称轴为
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（ ）

A．30 B．24

C．18 D．12

9、已知函数
，

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10、已知函数
,且方程
在区间
内有两个不等的实根, 则实数
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.[2,4]

二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）

11、已知集合
，
，则

12、若两个非零向量
满足
，则向量
与
的夹角为

13、在不等式组
所表示的平面区域内随机地取一点
，则点
恰好落在第二象限的概率为

14、已知直线
和直线
，若抛物线
上的点到直线
和直线
的距离之和的最小值为2，则抛物线
的方程为

15、给出定义：设
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
,则称点
为函数
的“拐点”.重庆武中高2015级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数

都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心.若
，则

三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）

城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，重庆市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如图所示（单位：min），回答下列问题．

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1



 (Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于10min的人数；

(Ⅱ)若从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

17、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）

在
中，角
的对边分别为
，若向量
，

，且
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的面积的最大值.

18、（本小题满分13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）

已知函数
为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为
.

(Ⅰ)求
的解析式； (Ⅱ)若
，求
的值.

19、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）

已知函数
．

（I）若
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（II）若
，函数
没有零点，求
的取值范围．

20、（本小题满分12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）

如图，正方形
所在平面与直角三角形
所在的平面互相垂直，
，设
分别是
的中点，已知
，

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离．

21、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

中心在原点，焦点在
轴上的椭圆的离心率为
，且经过点
．若分别过椭圆的左、右焦点
的动直线
相交于点
，且与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率
满足
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在定点M、N，使得
为定值？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，说明理由．

2014年重庆武中高2015级高三上期第一次月考

数 学 答 案（文科）2014.9

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

D

A

A

D

B

B

C





二、填空题：

题号

11

12

13

14

15



答案













三、解答题：

16、解：(Ⅰ)候车时间少于10min的概率为
，

故候车时间少于10min的人数为
.

(Ⅱ)将第三组乘客分别用字母
表示，第四组乘客分别用字母
表示，则随机选取的
人所有可能如
，共有15种不同的情况，其中两人恰好来自不同组包含8种情况，故所求概率为
.

17、解：（Ⅰ）因为
，所以
，即

故
又
，所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）及
，得

又
（当且仅当
时取等号），故
，即

故

18、解：(Ⅰ)因为
为偶函数，故
，

从而
.

再由
图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为
，知
，

从而
，故
. 所以
.

(Ⅱ) 原式
.

由条件知
，平方得
，从而
.

19、解：（I）
，切点为
，
，故切线方程为
.

（II）当
时，
在定义域
上没有零点，满足题意；

当
时，函数
与
在定义域上的情况如下表：













0

+





↘

极小值

↗





是函数
的极小值，也是函数
的最小值，

所以，当
，即
时，函数
没有零点.

综上所述，当
时，
没有零点.

20、解：(Ⅰ)证明：取
中点
，连接
.由于
为
的中位线，所以

；又因为
,所以

所以四边形
为平行四边形，故
，而
平面
，
平面
，

所以
平面
；

(Ⅱ)因为
平面
，所以：

因为
,所以
平面
，故
,从而：

因为
,所以
平面
,故
,从而：

在
中，
,

所以
的面积

所以
（其中
表示点
到平面
的距离），

即
，解出
，

所以点
到平面
的距离为
.

21、解：(Ⅰ) 设椭圆的方程为
，则

故椭圆的方程为
。

(Ⅱ)当
斜率不存在时，易知P点为
；

当
斜率存在时，设斜率分别为
，设
，联立

，则
，故

。

同理

。因为
，所以
，即

。又
，故
。

设点
，则
，即
。

由当
斜率不存在时，P点为
也满足在椭圆上。

故存在定点Ｍ、Ｎ为
，使得点Ｐ满足
为定值
。