湖北省重点中学2015届高三上学期第二次月考数学理试题

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知全集
,集合
, 若
，则等于（ ）

A.
B. C.
或 D.
或

2. 已知是实数，
是纯虚数，则＝( )

A.
B. C.
D.

3．有关命题的说法中正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

B．命题“若
，则
”的
形式是“若
，则
”；

C．若“
”为真命题，则、至少有一个为真命题；

D．对于命题
存在
，使得
，则
对任意
，均有
。

4．函数
具有如下性质：
，则函数
(　　)

A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数

5．已知
的三内角、、
所对边长分别为是、
、，设向量
，
，若
，则角的大小为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．若
,则函数
的两个零点分别位于( )

A.
和
内 B.
和
内

C.
和
内 D.
和
内

7. 已知函数

的图象如图所示，则函数
的图像可能是（ ）

8．定义在R上的偶函数
满足
，且在
上是减函数，
是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）

A.
B．

C．
D．

9．已知函数
则下列结论正确的（　 　）

A．
在
上恰有一个零点　　 　　 B．
在
上恰有两个零点

C．
在
上恰有一个零点 D．
在
上恰有两个零点

10．已知函数
若存在
，使得关于的方程
有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

非选择题部分（共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知
，
，那么
=　 　．

12．已知向量
，若
，则
．

13．在平面直角坐标系
上的区域由不等式组
给定，若
为上的动点，点的坐标为
，则
的最大值为 ．

14．求“方程
的解”有如下解题思路：设
，则
在上单调递减，且
，所以原方程有唯一解
．类比上述解题思路，方程
的解集为　 　．

15．给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为： ．

已知等差数列
的前项和为
，
，
为不共线向量，又
，若、、三点共线，则
；“
”是“函数
的最小正周期为4”的充要条件；设函数
的最大值为
，最小值为，则
；已知函数
，若
，且
，则动点
到直线
的距离的最小值为1.

三、解答题（本大题包括6个小题，共75分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题12分）已知函数
，
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
，
，求
。

17．（本小题12分）已知
函数
在
内有且仅有一个零点；命题

在区间
内恒成立。若命题“
”是假命题，求实数的取值范围。

18．（本小题12分）已知向量
，
（其中
），函数
，若
相邻两对称轴间的距离为
。

(Ⅰ)求的值，并求
的最大值及相应的的集合；

(Ⅱ)在
中，、
、分别是、、
所对的边，
的面积

，
，求边的长。

19．（本小题12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。

(Ⅰ)当
时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？

(Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

20．（本小题满分13分）如图,在等腰直角三角形

中,
,
,点
在线段
上。

(Ⅰ)若
，求
的长；

(Ⅱ)若点
在线段
上,且
；

问：当
取何值时,
的面积最小?并求出面积的最小值.

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

(Ⅰ)若
，讨论
的单调性；

(Ⅱ)当
时，若
恒成立，求满足条件的正整数的值；

(Ⅲ)求证：
．

参考答案

1．答案：D解析：由题意知
，欲使
，则
或
。

2．答案：B解析：
是纯虚数，所以
。

3．答案：D解析：对于A：逆否命题是“若
，则
”，对于B：非形式不是将条件和结论都同时进行否定；对于C：
为真命题，其否定形式“且”为假命题，则、至少有一个为假命题；对于D是正确的。

4．答案：B解析：由题意可知
，故
是一个偶函数。

5．答案：A解析：因为
，所以
，根据正弦定理，上式可化为
，所以
，所以
.

6．答案：A解析：
，
，
，这是一个二次函数。

7．答案：C解析：由图可知周期扩大，所以
，而且
，所以
为减函数，而且定义域为
。

8．答案：D解析：由题意可知，函数
周期为2，所以函数在
上为减函数，又因为是偶函数，所以在
内为增函数，而
，则
，所以
。

9．答案：C解析：可以求得
，令
得

，分析可以知道左边是一个偶函数，右边是一个奇函数，且左边比右边多一项，即
时总有
，
为增函数，且
，排除选项A和B，当
时，依然有
，
为增函数，
。

10．答案：B解析：方程
等价于
，故本题等价于函数
和函数
有三个交点，分
和
两种情形画出
的图像，
是一组斜率为
的直线，欲使两函数有三个交点，则必位于切线和过点
的直线之间的所有直线。经计算可得。

11．答案：
解析：由题意可知
，所以
。

12．答案：
解析：
，算得
。

13．答案：3解析：先画出D所表示的区域，见右图
，
，因为
，故只需找出
在
方向

上投影的最大值即可，取与
垂直的直线平移得到

当
与
重合时复合题意，所以

。

14．答案：{﹣1，2}解析：构造函数
，是一个奇函数，且为增函数，由方程
得
，解得答案：{﹣1，2}。

15．答案：解析：中，由于、、三点共线，所以
中的
，
；中，
，而函数
的最小正周期为4等价于
，所以不是充要条件，是充分不必要条件；函数
在区间
上是一个增函数，而且
是一个奇函数，令
，所以

；根据函数
的图象，结合
，且
，可得
，，
，
，
（
）其图象为一段圆弧，由于弧
（
）到直线
的距离最小的点为
，但弧不含点
，故错误。

16．解析：(Ⅰ)
；

(Ⅱ)
，且
，所以
，

17．解析：对于

，解得：

，解得
或
，

端点值代入检验得：
或
；

对于
令
，则
，解得
；

因为命题“或”是假命题，所以和均为假命题，可得实数的取值范围为：
。

18．解析：(Ⅰ)由题意得，
，化简得，
，

由周期为
可得，
，所以
，即
；

令
，可得
，即
，取最大值时的取值集合为
；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，所以
，解得
，

，又因为
，计算得