第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）图中的阴影表示的集合是 （ ）

（A）(?UA)∩B （B）(?UB)∩A

（C）?U(A∩B) （D）?U(A∪B)

（2）设集合{}，{}, ,那么“”是“”的 （ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）设（是虚数单位），则 （ ） （A） （B）

（C） （D）（4）设若与的等差中项为，则的最小值为 （ ）

（A） 8 （B） 

（C）  （D）

（5）不等式的解集是 （ ）

（A）{} （B）{}

（C）{或} （D）{}

（6）设，则的解集为 （ ）

（A） （B）∪

（C） （D）

（7）函数在[0,1]上的最大值和最小值之和为，则的值为 （ ）

（A） （B）

（C）2 （D）4

（8）已知函数，则 （ ）

（A） （B）

（C） （D）

（9）已知等差数列{}的各项均为正数，观察如图所示的程序框图，当，时，分别有和，则数列{}的通项公式为 （ ）

（A） （B） 

（C） （D） 

（10）命题：(，如果，则。它的否命题为（ ）

（A）(，如果，则

（B）(，如果，则

（C）(，如果，则

（D）(，如果，则

（11）函数的定义域为{}，。满足，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 （ ）

（A）[1,2] （B）(0，]

（C）[﹚∪(] （D）(0,1) ∪（]

（12）设函数 .若存在∈[]，使得
，则的取值范围是 （ ）

（A）[] （B）[]

（C）[] （D）[]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

（13）若集合{，，，},集合{，，，，},则从到的子集建立的映射中，构成一一映射的概率是 。

（14）函数在区间上是增函数，则的取值范围是______________

（15）函数
的零点个数为 个。

（16）已知函数, 如果，则 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知集合{}，{}，若命题“∩(”是假命题，求实数的取值范围．

（18）（本小题满分12分）

设函数 ，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：(Ⅰ)的值；(Ⅱ)函数的单调区间。

（19）（本小题满分12分）

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量(简称血酒含量，单位是毫克/100毫升)，当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车．沈阳市公安局交通管理部门于2014年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中的人数计入人数之内)．

(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数；

(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．

（20）（本小题满分12分）

已知函数满足，当时，，当时，。

当时，画出函数在[]区间上的图像；

若方程恰有5个实数解，求的取值范围。

（21）（本小题满分12分）

已知函数 

（1）
；

（2）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；

（3）令
，求证：

请考生在第22、23、24三题中任选，一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2 B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

如图，已知与圆相切于点，半径，交于点，

(1)求证：；

(2)若圆的半径为3，，求的长度．

（23）（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是((，直线的参数方程是 （为参数）．

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．

（24）（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知.

(1)当时，解不等式；

(2)当(]时，恒成立，求实数的取值范围．

数学试题（理科）

一、选择题

解：由程序框图可知S＝＋＋…＋，

∵{an}是等差数列，其公差为d，则有＝(－)，

∴S＝(－＋－＋…＋－)

＝(－)，

由题意可知，k＝5时，S＝；k＝10时，S＝，

∴；解得或(舍去)，

故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1 (n∈N*)

10、答案：C

11、答案：C.

12、答案：A

二、填空题

13、

；14、
；15、2个；20、3

三、解答题

17、解：因为“A∩B＝?”是假命题，所以A∩B≠?.

设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，

则U＝{m|m≤－1或m≥}．

假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有

??m≥.

又集合{m|m≥}．关于全集U的补集是{m|m≤－1}，

所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

19、解：(1)由已知得，(0.003 2＋0.004 3＋0.005 0)×20＝0.25,0.25×60＝15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．

(2)易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，所以X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

X的分布列为

X

0

1

2



P











E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

20、解：（1）由已知周期为4.

因为当
时，将函数化为方程
，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当
得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像。

（2）由图易知直线
与第二个椭圆
相交，而与第三个半椭圆
无公共点时，方程恰有5个实数解，将
代入
得

令

由

同样由
与第二个椭圆
由
可计算得

综上知

21、

求证：

22、

几何证明选将

解：(1)证明：连接OA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA.

∵PA与圆O相切于点A，

∴∠OAP＝90°.

∴∠PAC＝90°－∠OAB.

∵OB⊥OP，

∴∠BCO＝90°－∠OBA.

∴∠BCO＝∠PAC.

又∵∠BCO＝∠PCA，

∴∠PCA＝∠PAC.

∴PA＝PC.

(2)假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N.

∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O割线，

∴PA2＝PM·PN＝(PO－OM)·(PO＋ON)．

∵OP＝5，OM＝ON＝3，

∴PA2＝(5－3)·(5＋3)＝16.

∴PA＝4.

∴由(1)知PC＝PA＝4.

∴OC＝5－4＝1.

在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋1＝10.

∴BC＝.

坐标系与参数方程

解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，

又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.

(2)将直线l的参数方程化为普通方程，

得y＝－(x－2)，

令y＝0得x＝2，

即M点的坐标为(2,0)．

又曲线C为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r＝1，

则|MC|＝.

所以|MN|≤|MC|＋r＝＋1.

即|MN|的最大值为＋1.

不等式证明选讲

解：(1)a＝1时，f(x)<|x－2|，

即x|x－1|－2<|x－2|.※

①当x≥2时，由※?x(x－1)－2

∴x∈?；

②当1≤x<2时，由※?x(x－1)－2<2－x?－2

∴1≤x<2；

③当x<1时，由※?x(1－x)－2<2－x?x∈R.

∴x<1.

综上：可知原不等式的解集为{x|x<2}．

(2)当x∈(0,1]时，f(x)<x2－1，