南安一中2014～2015学年度高三上学期期中考

文科数学试卷

本试卷考试内容为：函数与导数、三角函数、数列、立体几何、直线与圆。分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知全集
，集合
,
，下图中阴影部分所表示的集合为

A．
B．
C．
D．

2.在复平面上，复数
对应点所在的象限是

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.函数
的零点所在的区间是

A．
B．
C．
D．

4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积等于

A．
cm2 B．
cm2 C．
cm2 D．
cm2

5.“
”是“直线
与直线
相互平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

7.设
，若
是
与
的等比中项，则
的最小值为

A．
B．1 C．4 D．8

8.已知函数
的大致图象如右图，其中
为常数，则函数

的大致图象是

9.已知向量a, b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则
等于

A．3 B．2 C．
D．

10.已知
，则
的值是

A．
B．
C．
D．

11.设曲线
在点
处的切线与
轴的交点的横坐标为
，则

的值为

A．
B．
C．
D．1

12.定义运算：
，将函数
的图象向左平移
（
）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．

13.若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a6＝ ．

14.已知实数
满足
，则
的最小值是 ．

15.已知△
的三个内角
所对的边分别为
，若△
的面积为

,则
．

16.在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°=M；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°=M；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°=M；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°=M；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°=M；

请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式.

.

三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知三棱柱
中，
平面
，
，
是
的中点

（Ⅰ）求证：
平面

（Ⅱ）求证：平面
平面

18.（本小题满分12分）

已知直线
与直线
垂直，且过点

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）若圆
过点
，且圆心在
轴的正半轴上，直线
被该圆所截得的弦长为
，

求圆
的标准方程.

19.（本小题满分12分）

已知
，且

（Ⅰ）求
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在△
中，
分别是
的对边，若
成立，求
的取值范围.

20.（本小题满分12分）

等差数列
的各项均为正数，
，前
项和为
，
为等比数列，
，且

．

(Ⅰ)求
与
；

(Ⅱ)证明：
．

21．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
平面
，底面
为正方形，
，
为
的中点，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）
边上是否存在一点
，使得
平面
.若存在，求
的长；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
在点(
)处的切线方程为
，求实数
的值;

（Ⅱ）当
时，讨论
的单调性;

（Ⅲ）当
时，
在区间
上恰有一个零点，求实数
的取值范围.

南安一中2014～2015学年度高三（上）期中考

文科数学试卷答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

D

C

C

A

D

C

B

D

D

A

B



二、填空题：本大题每小题4分，满分16分．

13.11 14.9 15.
16. sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝

三、解答题：本大题满分74分．

17.证明：

（Ⅰ）设
、
相交于点
，连结

∵
∴
为菱形

∴
为
的中点

∵
是
的中点

∴

又∵
平面

平面

∴
平面
……………………………6分

（Ⅱ）∵
为菱形

∴

又∵
平面

平面

∴

又∵

平面

∴
平面

又∵
平面

∴平面
平面
……………………………12分

18.解：（Ⅰ）∵
与
垂直 ∴

∵
过点
∴
的方程
即
……………………………4分

（Ⅱ）设圆的标准方程为

解得：
…………………………8分

∴圆的标准方程为
…………………………12分

19.解：（Ⅰ）

……………………………3分

……………………………4分 单调递增区间为：

解得：

∴单调递增区间为：
……………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA

∴ sin(A+B)= －2sinCcosB ∴ cosB=

∵B为三角形的内角 ∴B=
……………………………8分

∴
+1

又

……………………………10分

故
2，3] ……………………………12分

20.解：(Ⅰ)设
的公差为
，
的公比为
，则
，
，
．

依题意有
．解得
或
(舍去)． ……………4分

∴
……………………………6分

(Ⅱ)∵
，

∴

． ……………………………10分

∵
∴

∴

……………………………12分

21.(Ⅰ)证明：
平面
，

又∵
是正方形 ∴

∵

∴
平面
……………………………3分

又∵
面

∴
……………………………4分

(Ⅱ)解：∵
平面
，

∴
是三棱锥
的高 ……………………………5分

∵
是
的中点

……………………………6分

……………………………8分

(Ⅲ)连结
，取
中点
，连结
，延长
交
于点
，

则
//平面
……………………………9分

下面证明之

∵
为
的中点，
是
的中点，

∴
//
， ……………………………10分

又

∴
//平面
……………………………11分

在正方形
中， ∵
是
的中点，

≌

∴所求
的长为
……………………………12分

22.解：（Ⅰ）
……………………………1分

依题意，
……………………………2分

解得：
……………………………4分

（Ⅱ）