湖南省衡阳八中2015届高三上学期第四次月考试题 数学（理）

考生注意：本试卷共21道小题，满分150分，时量120分钟.

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。请将你认为正确的选项填在答题卡的相应的位置上。）

1．已知复数满足
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝（ ）

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

3．若集合
，集合
，则集合的子集的个数为 （ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

4．等比数列
中，
，则数列
的前8项和等于 （ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

5. “a≤0”是“函数
在区间
内单调递增”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数
的导数
的图像是如图所示的一条直线
，
与轴交点坐标为
，则
与
的大小关系为（ ）

A．
B．

C．
D．无法确定

7．为得到函数
的图象，可将函数
的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（，均为正数），则
的最小值是( )

A．
B．
C．
D．

8．已知等差数列
的前项和为
，且
且
，则下列各值中可以为
的值的是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．已知关于的方程
在
有且仅有两根，记为
，则下列的四个命题正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，
分别为
的内角A,B,C所对的边，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11．不等式
的解集为_______ ___

12．已知点
在不等式组
所表示的平面区域内运动，
为过点和坐标原点
的直线，则
的斜率的取值范围为 ．

13． 已知点C在直线AB上运动，O为平面上任意一点，且
(
)，则
的最大值是 ．

14．设
,对任意
，不等式
恒成立，则实数m的取值范围是 ．

15．已知数列：

中，

令
，
表示集合
中元素的个数．

（例如
，则
3.）若
（为常数，且
，
）则
．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知
中，
，记
．

（1）求
解析式并标出其定义域；

（2）设
，若
的值域为
，求实数的值．

17.（本小题满分12分）

如图，四棱柱
的底面
是平行四边形，且
底面
，
，
，
°，点为
中点，点为
中点.

（1）求证：平面
平面
；

（2）设二面角
的大小为，直线
与平面

所成的角为
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

已知数列
的各项均为正数，
表示数列
的前n项的和，且
.

（1）试求数列
的通项；

（2）设
，求
的前n项和
．

19．（本小题满分13分）

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数
与时刻（时）的关系为
，

其中是与气象有关的参数，且
，若用每天
的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作
．

（1）令
，
，求t的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

20．（本小题满分13分）

等比数列{an}的前n项和为Sn.已知]任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

(2)当b＝2时，记
(n∈N*)．

证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．

21．（本小题满分13分）

设
，
，其中
是常数，且
．

（1）求函数
的最值；

（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式
成立；

（3）设
，且
，证明：对任意正数
都有：
．

衡阳市八中2015届高三第四次月考

数学（理科）参考答案

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。请将你认为正确的选项填在答题卡的相应的位置上。）

1．已知复数满足
，则
（ A ）

A.
B.
C.
D.

由复数相等得
，解得
，因此
，故选A.

2. 已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( B )

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

3．若集合
，集合
，则集合的子集的个数为 （ C ）

A．1 B．2 C．4 D．8

4．等比数列
中，
，则数列
的前8项和等于 （ C ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C．

【解析】由已知得
为等比数列，
为等差数列，∴所求和为
，故选C．

5. “a≤0”是“函数
在区间
内单调递增”的( D )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数
的导数
的图像是如图所示的一条直线
，
与轴交

点坐标为
，则
与
的大小关系为（ C ）

A．
B．

C．
D．无法确定

7．为得到函数
的图象，可将函数
的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（，均为正数），则
的最小值是( B )

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】由条件可得
，则

，易知
时

8．已知等差数列
的前项和为
，且
且
，则下列各值中可以为
的值的是（ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】由已知，设
，则

两式相减得，
，故
。

，故只有D符合。

9．已知关于的方程
在
有且仅有两根，记为
，则下列的四个命题正确的是（ C ）

A．
B．

C．
D．

【答案】C

【解析】即方程
在
上有两个不同的解，作出
的图象，可见，直线

与
在
时相切才符合，此时

有
，又
，

10．已知函数
，
分别为
的内角A,B,C所对的边，且
，则下列不等式一定成立的是（ B ）

A.
B.

C.
D.

解析：由
可得
，

，
，

，

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11. 不等式
的解集为__________

12．已知点
在不等式组
所表示的平面区域内运动，
为过点和坐标原点
的直线，则
的斜率的取值范围为 ．[1,2]

13． 已知点C在直线AB上运动，O为平面上任意一点，且
(
)，则
的最大值是 ．

解：由题易知
，
，当且仅当x=4y=
时取等号.

14．设
,对任意
，不等式
恒成立，则实数m的取值范围是

15．已知数列：

中，

令
，
表示集合
中元素的个数．

（例如
，则
3.）若
（为常数，且
，
）则
．

【答案】

【解析】根据题中集合
表示的含义，可知
中元素为数列中前后不同两项的积，所以

例如
，则集合
中元素为2，4，8，元素个数为3.因此由题易知，数列数列为首项为
，公比为（
）的等比数列，所以
，

，
可以取遍从3到
中每个整数，共有
个不同的整数，故

。

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知
中，
，记
．

（1）求