命题人：王成栋 审核人：李建娇

（完卷时间：120分钟，总分：150分）

注意：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1．复数
的共轭复数为 ( ).

A．－
i B．－
C．1+2i D．1－2i

2．已知全集为，集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3．命题：
，
，则( ).

．是假命题，
：

．是假命题，
：

．是真命题，
：
，
　

．是真命题，
：

4．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的(　 　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为 (　 　)

A.－ B. C.－ D.

6．将函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到图象y= g(x)，若y= g(x)的一个对称中心为，则φ的一个可能取值是 (　　 )

A. B. C. D.

7．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)

A. B．13 C．6 D.

8．已知f(x)是R上的偶函数，且最小正周期为
，当
时，f(x)＝－cos x，则函数y＝f(x)的图象在区间
上与x轴的交点的个数为(　 )

A.2 B.4 C.6 D.8

9．函数
的导函数
在区间
上的图象大致是（ ）

10．设函数
（
，为自然对数的底数）．若曲线
上存在
使得
，则的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，答案填在答卷上）

11．
＝_______

12．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.

13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝________

14．已知函数
的部分图像如图所示，若图中阴影部分的面积为
，则的值是

15.若函数
是定义在上的偶函数，且在区间
上是单调增函数如果实数满足
时，那么的取值范围是 .

三、解答题：（本大题共6题，满分80分）

16．（13分）已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.

(1)若0<<，且sin＝
，求f(α)的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

17．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)若(－k)，求k的值．

18．（13分）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

19．（13分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量
，
．

（1）若
，
，求角A；

（2）若
，
，求
的值．

20．（14分）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝Asin (A>0，ω>0)，x∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B(－1,2).赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.

(1)求ω的值和∠DOE的大小；

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EO上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．

21．（14分）已知函数f(x)＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；

（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．

福州文博中学2014-2015学年第一学期

高三年级期中考理科数学考试（答案）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题 5分，共 50分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

C

C

B

B

D

D

B

A

A



二、填空题：（本题共5小题，每小题4 分，共20分）

11、
12、 2 13、 2/3

14、 6 15、 ( 1/e ，e )

三、解答题

16、解：(1)由已知，有

f(x)＝cos x·－cos2x＋

＝sin x·cos x－cos2x＋

＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋

＝sin 2x－cos 2x

＝sin，

(1)若0

(2)
增区间为

17、解：(1)由题意，得＝(3，5)，＝(－1，1)，

则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．

故所求两条对角线的长分别为4 ，2 .

(2)∵＝(－2，－1)，－k＝(3＋2k，5＋k)，

∴(－k)·＝(3＋2k，5＋k)·(－2，－1)＝－11－5k＝0.

∴

18、解：(1)设数列{an}的公差为d，

依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，

故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．

当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n<－10(舍去)，

此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.

20、解　(1)由条件，得A＝2，＝3.

∵T＝，∴ω＝.

∴曲线段FBC的解析式为

y＝2sin.

当x＝0时，y＝OC＝.

又CD＝，∴∠COD＝，即∠DOE＝.

(2)由(1)，可知OD＝.

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在上，故OP＝.

“矩形草坪”的面积为

S＝sin θ(cos θ－sin θ)＝6(sin θcos θ－sin2θ)＝6

＝3sin－3.

∵0<θ≤，∴当2θ＋＝，

即θ＝时，S取得最大值.