汕尾市2015届高三学生调研考试

数学（理科）试题 2014.12.24

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
（ ）

A．
　　　B．
C．
D．

2．复平面内表示复数
的点位于（ ）

A .第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限

3. 已知
为等差数列，且
，则
的值为（ ）

A．40 B．45 C．50 D．55

4．以下四个函数
中，奇函数的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．中心在原点，焦点在
轴上的双曲线的一条渐近线与直线
平行，则它的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知向量
,且
, 则实数
（ ）

A.
B. 3 C.
D. 0

7. 已知直线
平面
，直线
平面
，则下列四个结论：

①若
，则
②若
，则

③若
，则
④若
，则
。 其中正确的结论的序号是（ ）

A.①④ B.②④ C.①③ D.②③

8. G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的
，则
，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合
对于数的乘法作成一个封闭集合。以下四个结论：

①集合{0}对于加法作成一个封闭集合

②集合
为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合

③集合
，C对于数的乘法作成一个封闭集合

④令
是全体大于零的实数所成的集合，
对于数的乘法作成一个封闭集合

其中，正确结论的个数是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）

（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答

9． 在
中，角A、B、C的对边分别为
，若
的面积
，则
边长 ．

10. 如图（1）所示的程序框图表示求算式“
”的值，则判断框内可以填入 ( )

11. 若变量
满足约束条件
，则
的最小值为

12. 不等式
恒成立，则实数
的取值范围是

13. 直线
与曲线
在第一象限内围成的封闭图形的面积为

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. 已知圆C的极坐标方程为
，直线
的极坐标方程为
，则圆心到直线
的距离等于

15. 如图（3）所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，
，圆O的半径

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. （本题满分12分）

已知函数

(1) 求
的值

(2) 若
，求
。

17.（本小题满分12分）

某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图（3）所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用。

（1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数
的值；

区间













人数

50



350

300







（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；

（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望。

18．（本小题满分14分）

如图（4），在三棱柱
中，侧面
均为正方形，

，点
是棱
的中点。

(1) 求证：
平面
；

(2) 求证：
平面
；

(3) 求二面角
的余弦值。

19.（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列
的前
项和为
满足
．

（1）求
的值；

（2）求
的通项公式；

（3）求证：
。

20.（本小题满分14分）

椭圆
过点
，
分别为椭圆的左右焦点且
。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在
轴上的圆，使圆在
轴的上方与椭圆交于
两点（
在
的左侧），
和
都是圆的切线且
？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由。

21.(本题满分14分)

已知函数
的极值点为
和

（1）当
时，求函数
的增区间

（2）当
时，求函数
在
上的最大值。

注：官方答案有错，更正：12.5