河北省唐山市海港高级中学2015届高三上学期10月月考数学（理）试题

（满分150分 考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）

1.下列结论正确的有（ ）

①已知集合
，
,若
，则

②集合
与集合
是同一个集合；

③由，
，
，
，
这些数组成的集合有5个元素；

④集合
是指第二和第四象限内的点集．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2. 已知是虚数单位，
，则“
”是“
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.设命题
函数
在定义域上为减函数；命题

,当
时,
，以下说法正确的是（ ）

A.为真 B.为真 C.真假　 D.，均假

4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

A．3 B．4 C．5 D．6

5. 已知双曲线
的离心率为2，则实数
（ ）

A. 2 B.
C.
D. 1

6.设
，则，
，的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.规定
，若
，则函数
的值域（ ）

A.
B．
C．
D．

8．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象( )

A. 向左平移
单位 B. 向右平移
单位

C.向左平移
单位 D. 向右平移
单位

9.已知定义的R上的偶函数
在
上是增函数，不等式

对任意
恒成立，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知锐角是
的一个内角,
是三角形中各角的对应边,若
,则下列各式正确的是( )

A.
B.
C.
D.

11.下列四个图中,函数
的图象可能是( )

12．已知函数
，函数
若存在
，使得
成立，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）

13.已知
,且
,则
.

14.函数
的定义域为

15.设
,函数
,则
的值等于 ．

16. 如图，正方体
的棱长为，
分别为棱
，
上的点．下列说法正确的是__________.（填上所有正确命题的序号）

①
平面
；

②在平面
内总存在与平面
平行的直线；

③
在侧面
上的正投影是面积为定值的三角形；

④当
为中点时，平面
截该正方体所得的截面图形是五边形；

⑤当
为中点时，平面
与棱
交于点，则
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(本小题满分12分)

如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点
.

(Ⅰ)若
,求
;

(Ⅱ)设点为单位圆上的动点,点
满足


,求
的取值范围.

18.(本小题满分12分)

直三棱柱
中,

,点在
上.

(Ⅰ)若是
中点,求证:
平面
;

(Ⅱ)当
时,求二面角
的余弦值.

19.(本小题满分12分)

已知定义在
上函数
对任意正数
都有
，当
时，
，且
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)解关于的不等式
.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
的短半轴长为，动点

在直线
（为半焦距）上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以
为直径且被直线
截得的弦长为的圆的方程；

（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作
的垂线与以
为直径的圆交于点
，

求证：线段
的长为定值，并求出这个定值．

21.(本小题满分12分)

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间;

(Ⅱ)若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
,对于任意的
,函数
在区间
上总不是单调函数,求的取值范围;

(Ⅲ)求证:
.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点作圆
的切线交
的延长线于点，
的平分线分别交
和圆
于点
，若
.

（1）求证：
；（2）求
的值.

23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
：
（为参数，(为
的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为：
.

（1）若直线
与曲线相切，求的值；

（2）设曲线上任意一点的直角坐标为
，求
的取值范围.

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知正实数
满足：
.

（1）求
的最小值;

（2）设函数
，对于（1）中求得的，是否存在实数，使得
成立，说明理由.

唐山海港中学2014——2015学年度第一学期第一次月考

高三数学试题（理科）答案

一、选择题

ＡＢＤＢＤ　　　ＡＡＤＢＣ　　　ＣＢ

二、填空题

13.
14.
15. 8 16. ②③④⑤

三、解答题

17解 (Ⅰ)由三角函数定义可知
,

所以
,即求……………………………5分

(Ⅱ)由三角函数定义知
,所以

所以
,

又因
,故
,即
,

于是
,所以
的取值范围是
.……………………………………12分

18.【解】(Ⅰ)连接
交
于点,连接
,

因为直三棱柱中侧面
为矩形,所以

为
的中点,又是
中点,

于是
,且
面
,
面
,

所以
平面
;…………………………6分

(Ⅱ)由
知
,即
,

又直三棱柱中
面
,于是以为原点建立空间

直角坐标系
如右图所示,于是
,

又
,由平面几何易知
,

显然平面
的一个法向量为
,

又设平面
的一个法向量为
,则由

,得
,

解得
,取
,则
,设二面角
的平面角为,

则
,又由图知为锐角,

所以其余弦值为
.…………………………………………………………………12分

19.（1）
，所以

解得
………4分

任取
，且
，

则
………6分

因为
，且
时

所以
所以
在
上是增函数……9分

因为
所以

即
所以
，解得
……12分

20.（本小题满分12分）Ⅰ）由点
在直线
上，得
，

故
， ∴
． 从而
． ……………2分

所以椭圆方程为
． ……………4分

（Ⅱ）以
为直径的圆的方程为
．

即
． 其圆心为
,半径
．…………6分

因为以
为直径的圆被直线
截得的弦长为，

所以圆心到直线
的距离
．

所以
，解得
．所求圆的方程为
．……9分

（Ⅲ）方法一：由平几知：
，（K为垂足）

直线

，直线

，由
得
．

∴
．

所以线段
的长为定值
． ……………12分

方法二：设
，

则
．

．

又
．

所以，
为定值．

21.【解】(Ⅰ)由
,.…………………………1分

①当
时,显然
时,
,当
时,
,

所以此时
的单调递增区间为
,递减区间为
,

②同理当
时,
的单调递增区间为
,递减区间为
,

③当
时,
不是单调函数;.……………………………………4分

(Ⅱ)由题知,
,得
,所以
.

所以
,且
,……6分

令
时,可知
恒成立,即
一定有两个不等实根
,

且注意到
,所以不妨设
,又
,于是可知
时,
,

又
时,
即
在
上递减,在
上递增,依题意可知
,

于是只须
,………………………7分

又以上事实对
恒成立.故
,得
;……………9分

(Ⅲ)分析:要证
成立,

即证
,

也即证,
成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明.

证明过程: 由(Ⅰ)知当
时,
在
上递增,

所以
………………………………11分

也所以在上式中分别令
得,

,

以上同向正数不等式相乘得

两边同除以得,
,即证.…………………13分

22. 解：（1）∵PA是圆O的切线 ∴
又
是公共角

∴
∽
……2分∴
∴
……4分

（2）由切割线定理得：
∴
又PB=5 ∴
…6分

又∵AD是
的平分线 ∴
∴
∴
…8分

又由相交弦定理得：
………10分

23.解：（1）曲线C的直角坐标方程为

即
曲线C为圆心为(3,0)，半径为2的圆.

直线l的方程为:
………3分

∵直线l与曲线C相切 ∴
即
…5分

∵ (([0,π) ∴(=
………6分

（2）设

则
=

………9分

∴
的取值范围是
. ………10分

24. 解：（1）∵
即
∴
………2分

又
当且仅当
时取等号

∴=2 ………5分

（2）
………9分

∴满足条件的实数x不存在. ………10分