2015年常德市高三年级模拟考试

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
，
为虚数单位，则
=

A．
B．
C．
D．

2．设集合
，则

A．
B．
C．
D．

3．若
为实数，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设函数
和
分别为R上的奇函数和偶函数，则下列结论恒成立的是

A．
为奇函数 B．
为奇函数

C．
为偶函数 D．
为偶函数

5．已知等差数列
的公差
，且
，

则
的值为

A．
B．
C．
D．

6．执行如图1所示的程序框图，输出的s的值为

A．
B．
C．
D．

7．在钝角

中,若
，
，

且
,则

A．
B．
C．
D．

8．已知某几何体的三视图都是全等的等腰直角三角形，直角边长为1，如图2所示，

则该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

9．已知抛物线的方程为
，过其焦点
的直线

与抛物线交于
、
两点，且
，
为坐标原点，

则
的面积和
的面积之比为

A．
B．
C．
D．

10．在
中，点
满足
，当
点在线段
上移动时，

若
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

11．某校有老师320人，男学生2200人，女学生1800人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为
的样本；已知从女学生中抽取的人数为45人，则
= 　　 ．

12．在极坐标系中，已知直线
过圆
的圆心，则
=___________．

13．已知⊙
的半径为4，在圆
内任取一点
，则点
到圆心
的距离大于1且小于2的概率为______________

14．设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为4，则
的最小值为

15．已知函数
满足
，且
时，
，则当
时，
与
的图象的交点的个数为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数
的最小值为
,且图象上相邻两个最高点的距离为
．

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值．

17．（本小题满分12分）省教育厅为了解该省高中学校办学行为规范情况，从该省高中学校中随机抽取100所进行评估，并依据得分（最低60分，最高100分，可以是小数）将其分别评定为A、B、C、D四个等级，现将抽取的100所各学校的评估结果统计如下表：

评估得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100



评定等级

D

C

B

A



频率

m

0.62

0.32

2m



（Ⅰ）求根据上表求m的值并估计这100所学校评估得分的平均数；

（Ⅱ）从评定等级为D和A的学校中，任意抽取2所，求抽取的两所学校等级相同的概率.

18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱
中，
,
,

,
分别为棱
的中点．

（Ⅰ）求证:
∥平面
；

（Ⅱ）若异面直线
与
所成角为
时，求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分13分）在数列
中，
，
．

（Ⅰ）设
（
），求证：数列
为等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
．

20．（本小题满分13分）已知椭圆
（
）的左、右顶点是双曲线
的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为
，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在同时满足下列两个条件的直线
：①与双曲线相交于
、
两点，且
，②与相交于
、
两点， 且
．若存在，求出直线
的方程，若不存在，说明理由．

21．（本小题满分13分）已知函数
.(题中
=2.71828为自然对数的底数)

（Ⅰ）若方程
在区间
上有2个不同的实根，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）点
（
）是函数
的图象上一动点，求函数
的图象上点
处的切线与两坐标轴围成三角形面积的最小值；

（III）设
，证明：
．

2015年常德市高三年级模拟考试

数学（文史类）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1. B 2.B 3.A 4. D 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11. 108 12. 1 13.
14. 12 15. 9

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）函数
，所以
……………………………………3分

又由已知函数
的最小正周期为
，所以
，
……………6分

（Ⅱ）有（Ⅰ）得
，所以

，
，

……………………………………………8分
, ……10分

………………………………………………………12分

另解: （Ⅱ）有（Ⅰ）得
，所以

，
，

………………………………………9分，

………………………………………………………12分

17．（本题满分12分）（Ⅰ）由上表知：

…………………………… ……………………………2分

设
所学校评估得分的平均数为
，则

分. …………………5分

（Ⅱ）由（1）知等级为A的学校有4所记作：
；等级为
的学校有
所记作：
从
中 任取两所学校取法有
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共
种. …………………………………………………9分

记事件
为”从
中任取两所学校其等级相同”，则事件
包含的基本事件有
、
、
、
、
、
、
共
个

故

.……………………………………………………………………………12分

18．（本题满分12分）（Ⅰ）证明：取
的中点
,连接
,

因为
分别为棱
的中点，

所以
∥
,
∥
,
,
平面
,

平面
,所以平面
∥平面
，……………………4分

又
平面
,

所以
∥平面
. ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
异面直线
与
所成角,所以
,…8分

因为三棱柱
为直三棱柱，所以
平面
,所以
平面
,
,

,
,

由

,

平面
,…………10分

所以

. ………………………12分

19. （本题满分13分）（Ⅰ）由
得

…………………………………………………………………2分

…………………………………………………4分

，故
是以
为首项，2为公比的等比数列.… ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，



…7分

…………………………………………………………………………9分

其中
……①

……②

②得

∴
………12分

∴
……………………………………………………13分

20. （本题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知：
， …………………………1分

又椭圆的上顶点为
，双曲线的渐近线为：
，

由点到直线的距离公式有：
， ………………………………3分

所以椭圆的方程为：