2015届山东省滕州市滕州一中新校高三3月份模拟考试

数学（文）试题

1．i为虚数单位，
, 则
的共轭复数为 （ ）

A．2-i B．2+i C．-2-i D．-2+i

2．已知集合
=（ ）。

A．
B．

C．
D．

3．某几何体的三视图如图,（其中侧视图中的圆弧是半圆）,则该几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

4．命题“
使得
”的否定是

A．
均有
　　　　　 B．
均有
　

C．
使得
　　　　　 D．
均有

5．曲线
在
处的切线方程为

A．
B．

C．
D．

6．抛物线
的焦点坐标为

A．
B．
C．
D．

7．函数
的部分图象如图所示，为了得到
的图象，只需将
的图象

A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位

8．设
，其中实数x,y满足
，若z的最大值为12，则z的最小值为

A．－3 B．－6 C． 3 D．6

9．现有四个函数：①
②
③
④
的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是

① ② ③ ④

A．①④③②　 B．④①②③　 　C．①④②③． 　　D．③④②①

10．若
（
）是
所在的平面内的点，且
．给出下列说法：①
；②
的最小值一定是
；③点
、
在一条直线上．其中正确的个数是

A．
个． B．
个． C．
个． D．
个．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知
，则
的最小值_________;

12．圆
的圆心
到直线
的距离
;

13．已知
，则
;

14．如图是某算法的程序框图，若任意输入
中的实数
，则输出的
大于
的概率为 ;

15．如果对定义在
上的函数
，对任意两个不相等的实数
，都有
，则称函数
为“
函数”．给出下列函数①
;②
;③
;④
．以上函数是“
函数”的所有序号为 ．

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量
，设函数
,若函数
的图象与
的图象关于坐标原点对称．

（Ⅰ）求函数
在区间
上的最大值,并求出此时
的取值；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，若
，
，
，求边
的长．

17．（本小题满分12分）

在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为
五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为
的考生有
人．

（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为
的人数；

（Ⅱ）若等级
分别对应
分,
分,
分,
分,
分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为
．在至少一科成绩为
的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为
的概率．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中,
面
，
、
分别为
、
的中点，
．

（Ⅰ）证明：
∥面
；

（Ⅱ）证明：

19．（本小题满分12分）

在数列

中，其前
项和为
，满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）设
,求数列
的前
项和
．

20．（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）设函数
若函数
在
上恰有两个不同零点，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知点
在椭圆
:
上，以
为圆心的圆与
轴相切于椭圆的右焦点
，且

，其中
为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点
，设
是椭圆
上的一点，过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求直线
的方程;

（Ⅲ）作直线
与椭圆
:
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值．

2015届山东省滕州市滕州一中新校高三3月份模拟考试

数学（文）试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

C DAB A C B B C B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．
13．
14．
15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得：

所以
………………3分

因为
，所以

所以当
即
时，

函数
在区间
上的最大值为
………………6分

（Ⅱ）由
得：

又因为
，解得：
或
……………………8分

由题意知
，

所以

则
或

故所求边
的长为
或
． ……………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，

所以该考场有
人……………………2分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
……………………4分

（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

……………………7分

（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，

所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为

{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}
,有6个基本事件

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则
．……………………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）因为
、
分别为
、
的中点，

所以
∥
……………………2分

因为
面
，
面

所以
∥面
……………………5分

（Ⅱ）因为
面

所以
……………………7分

因为
，所以

又因为
为
的中点

所以

所以

得
，即
……………………10分

因为
，所以
面

所以
……………………12分

19．（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）由题设得:
,所以

所以

……………2分

当
时，
,数列
是
为首项、公差为
的等差数列

故
．……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:

所以

…………………8分

两式相减得：

．

所以
．……………………12分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）
的定义域是
，
，得
……………………3分

时，
，
时，
，

所以
在
处取得极小值
……………………6分

（Ⅱ）

所以
，令
得

所以
在
递减，在
递增 ……………………9分

……………………11分

所以
……………………13分

21．（本小题满分14分）

解:（Ⅰ）由题意知,在
中,

由
得:

设
为圆
的半径,
为椭圆的半焦距

因为
所以

又
,解得:
,则点
的坐标为
………………2分

因为点
在椭圆
：
上,所以有

又
,解得:

所求椭圆
的方程为
．……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆
的方程为

由题意知直线
的斜率存在,故设其斜率为
,

则其方程为

设
,由于
,所以有

……………………7分

又
是椭圆
上的一点,则

解得

所以直线
的方程为
或
……………………9分

（Ⅲ）由题意知:
:

由
, 设

根据题意可知直线
的斜率存在，可设直线斜率为
,则直线
的方程为

把它代入椭圆
的方程,消去
,整理得:

由韦达定理得
,则
,

所以线段
的中点坐标为

（1）当
时, 则有
,线段
垂直平分线为
轴

于是

由
,解得:
……………………11分

（2） 当
时, 则线段
垂直平分线的方程为

因为点
是线段
垂直平分线的一点

令
,得:

于是

由
,解得:

代入
,解得:

综上, 满足条件的实数
的值为
或
．……………………14分

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