北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）

高三数学 （文科）

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

（1）在复平面内，复数
对应的点的坐标为

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）双曲线
的渐近线方程为

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）记函数
的导函数为
，若
对应的曲线在点
处的切线方程为
，则 （A）
（B）

（C）
（D）

（4）已知命题
：直线
，
不相交，命题
：直线
，
为异面直线，则
是
的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）在区间
上随机取一个实数
，则事件“
”发生的概率为

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）执行如图所示的程序框图，若输出的
的值为
，

则图中判断框内①处应填

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）设集合
，则下列命题中正确的是

（A）

，
（B）

，

（C）

，
（D）

，

（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有
，
两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选
种菜的学生，下星期一会有
改选
种菜；而选
种菜的学生，下星期一会有
改选
种菜．用
，
分别表示在第
个星期的星期一选
种菜和选
种菜的学生人数，若
，则
与
的关系可以表示为

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知集合
，
，若


，则实数
的值为 ．

（10）将函数
的图象向右平移
个单位后所得图象对应的解析式为 ．

（11）在矩形
中，

，
，则实数
．

（12）已知函数
的对应关系如下表所示,数列
满足
，
,则
，

．





















（13）函数
是定义在
上的偶函数，且满足
．当
，
时，
.若在区间

，

上方程
恰有四个不相等的实数根，则实数
的取值范围是________．

（14）
是曲线
上一点，
垂直于
轴，
是垂足，点
的坐标是
．设
(其中
表示原点)，将
表示成关于
的函数
，则

，
的最大值为 ．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题共13分）

下面的茎叶图记录了甲、乙两组各
名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).

甲组



乙组













































已知甲组数据的中位数为
，乙组数据的平均数是
.

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）从成绩不低于
分且不超过
分的学生中任意抽取
名，求恰有
名学生在乙组的概率．

（16）（本小题共13分）

在△
中，
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）现给出三个条件：①
； ②
；③
．

试从中选出两个可以确定△
的条件，写出你的选择并以此为依据求△
的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) ．

（17）（本小题共14分）

如图甲，⊙
的直径
，圆上两点
在直径
的两侧，且

．沿直径
将半圆
所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）．
为
的中点，
为
的中点．

（Ⅰ）求证 ：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）在劣弧
上是否存在一点
，使得
∥平面
？若存在，试确定点
的位置；

若不存在，请说明理由．

（18）（本小题共14分）

已知
是函数
的一个极值点．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）求
的单调递减区间；

（Ⅲ）设函数
，试问过点
，
可作多少条直线与曲线
相切？请说明理由．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，
为椭圆上任意一点且△
的周长等于
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）以
为圆心，
为半径作圆
，当圆
与直线

有公共点时，求△
面积的最大值．

（20）（本小题共13分）

已知等差数列
中，
，
，数列
前
项和为
,且

.

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
求
的前
项和
；

（Ⅲ）把数列
和
的公共项从小到大排成新数列
,试写出
，
，并证明
为等比数列．

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