试卷类型 B

唐山市2014-2015学年度高三年级第二次模拟考试

文 科 数 学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

（1）设集合A={－1，0，1，2，3}， B={x|x2－2x＞0}，则 A∩B=（ ）

A．{3} B．{2，3}

C．{－1，3} D．{0，1，2}

（2）命题“?x∈R，x2－x+1＞0”的否定是(　　)

A．?x0?R，x02－x0+1≤0 B．?x0∈R，x02－x0+1≤0

C．?x0? R，x02－x0+1≤0 D．?x0∈R，x02－x0+1≤0

（3）在复平面内，复数z与
的对应点关于虚轴对称，则z=

A．2－i B．－2－I

C．2+i D．－2+i

（4）在等差数列{an}中，a7＝8，前7项和S7＝42，则其公差d＝

A．－ B．－
C． D．

（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的a=209，b=76，则输出的a是

A．3 B．57 C．19 D．76

（6）函数y=4sin(ωx+φ) (ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图，其中A（，0），B（，0），则

A．ω=，φ=－ B．ω=1，φ=－

C．ω=，φ=－ D．ω=1，φ=－

（7）已知函数
+a ，若f（x）是奇函数，则a=

A．0 B．

C． D．+1

（8）设实数x，y满足约束条件
，则z＝
的取值范围是

A．[
，1 ] B．[
，
]

C．[
， ] D．[
，
]

（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．3

（10）当x∈[1，2]，函数y=x2与y=ax（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是

A．[，2] B．[，]

C．[
，2] D．[
，]

（11）在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则

A．
=1 B．
=2

C．
=1 D．
=2

（12）已知圆C：x2＋y2＝1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足
=
，则t的取值范围是

A．[－2，2] B．[－
，
]

C．[－3，3] D．[－5，5]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

（13）曲线y＝ex在点(0，1)处的切线方程为 ．

（14）已知|a|=，|b|=2，若（a+b）⊥a ，则a与b的夹角是 ．

（15）设Sn为数列{an}的前n项和，an =4Sn－3，则S4= ．

（16）在三棱锥P―ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2－b2）=2accos B+bc．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanB．

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P―ABCD的底面ABCD为平行四边形，PA=AD， M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．

（Ⅰ）求证：PN=CN；

（Ⅱ）直线MN与平面PBD相交于点F，求MF：FN．

（19）（本小题满分12分）

某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：

支持

不支持

合计



中型企业

80

40

120



小型企业

240

200

440



合计

320

240

560



（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗” 与“企业规模”有关？

（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小型企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．

P(K2≥k0)

0.050

0.025

0.010



k

3.841

5.024

6.635



附：K2＝，

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线E：x2=4y，m，n是过点A（a，一1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E交于不同的两点C，D．

(Ⅰ)求m的斜率k的取值范围；

(Ⅱ)当n过E的焦点时，求B到n的距离．

（21）（本小题满分12分）

已知f(x)= x++alnx，其中a∈R．

（Ⅰ）设f(x)的极小值点为x=t，请将a用t表示；

（Ⅱ）记f(x)的极小值为g(t)，证明：

（i）g(t)= g()；

（ⅱ）函数y=g(t)恰有两个零点，且互为倒数．

（22）（本小题满分10分）

如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．

(Ⅰ) 证明：AC∥OP；

(Ⅱ)若CD=2，PB=3，求AB ．

（23）（本小题满分10分）

在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ－）＝
，C与l有且只有一个公共点．

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB |的最大值．

（24）（本小题满分10分）

设f（x）=|x－1|－2|x+1|的最大值为m．

（Ⅰ）求m；

（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．

唐山市2014—2015学年度高三年级第二次模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题：

A卷：CDDAB CBDAB AC

B卷：CDADC CBDAB AB

二、填空题：

（13）x－y＋1＝0； （14）150°； （15）； （16）20π．

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）因为2accosB＝a2＋c2－b2，所以2(a2－b2)＝a2＋c2－b2＋bc．

整理得a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝－，即A＝． …4分

（Ⅱ）因为∠DAB＝，所以AD＝BD·sinB，∠DAC＝． …6分

在△ACD中，有＝，又因为BD＝3CD，

所以3sinB＝2sinC， …9分

由C＝－B得3sinB＝cosB－sinB， …11分

整理得tanB＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：取PD中点E，连AE，EM，

则EM∥AN，且EM＝AN，

四边形ANME是平行四边形，MN∥AE．

由PA＝AD得AE⊥PD，故MN⊥PD．

又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，

则MN⊥PC，PN＝CN． …6分

（Ⅱ）

设M，N，C，A到平面PBD的距离分别

为d1，d2，d3，d4，则d3＝2d1，d4＝2d2，

由VA－PBD＝VC－PBD，得d3＝d4，则d1＝d2，

故MF∶FN＝d1∶d2＝1∶1． …12分 （其它解答参照给分）

（19）解：

（Ⅰ）K2＝≈5.657，因为5.657＞5.024，

所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1∶ 3，

按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，

分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：

A1

A2

B1

B2

B3

B4

B5

B6



A1

－



＋

＋

＋

＋

＋

＋



A2



－

＋

＋

＋

＋

＋

＋



B1

＋

＋

－













B2

＋

＋



－











B3

＋

＋





－









B4

＋

＋







－







B5

＋

＋









－





B6

＋

＋











－



结果总数是56，符合条件的有24种结果．(若用树状图列式是：)

从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为＝． …12分

（20）解：

（Ⅰ）m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分别代入x2＝4y，得

x2－4kx＋4ka＋4＝0 ①，

x2＋4kx－4ka＋4＝0 ②， …2分

由Δ1＝0得k2－ka－1＝0，

由Δ2＞0得k2＋ka－1＞0， …4分

故有2k2－2＞0，得k2＞1，即k＜－1或k＞1． …6分

（Ⅱ）F(0，1)，kAF＝＝－k，所以ak＝2． …8分

由Δ1＝0得k2＝ka＋1＝3，

B(2k，k2)，所以B到n的距离d＝＝＝4 …12分

(其它解法参照得分)

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝1－＋＝．t＝＞0， …2分

当x∈(0，t)时，f((x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(t，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单调递增． …4分

由f((t)＝0得 a＝－t． …6分

（Ⅱ）

（ⅰ）由（Ⅰ）知f(x)的极小值为g(t)＝t＋＋(－t)lnt，则g()＝＋t＋(t－) ln＝t＋＋(－t)lnt＝g(t) ． …8分

（ⅱ）g((t)＝－(1＋)lnt， …9分

当t∈(0，1)时，g((t)＞0，f(t)单调递增；

当t∈(1，＋∞)时，g((t)＜0，g(t)单调递减． …10分

又g()＝g(e2)＝－e2＜0，g(1)＝2＞0，

分别存在唯一的c∈(，1)和d∈(1，e2)，

使得g(c)＝g(d)＝0，且cd＝1，

所以y＝g(t)有两个零点且互为倒数． …12分

（22）解：

（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，

所以PB＝PC，且PO平分∠BPC，

所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP． …4分

（Ⅱ）由PB＝PC得PD＝PB＋CD＝5，

在Rt△PBD中，可得BD＝4．

则由切割线定理得DC2＝DA ? DB，

得DA＝1，因此AB＝3． …10分

（23）解：

（Ⅰ）曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆；

l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.

由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1. …4分

（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，

则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos(θ＋)

＝3cosθ－sinθ＝2cos(θ＋)，

当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2. …10分

（24）解：

（Ⅰ）当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；

当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；

当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4．

故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2． …4分

（Ⅱ）a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．此时，ab＋bc取得最大值1． …10分

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