哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学

2015年高三第二次联合模拟考试

文科数学试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合M={1,2}，N={
}，则M
N

A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}

2．i为虚数单位，复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．向量a=(2，-9)，向量b=(-3，3)，则与a-b与同向的单位向量为

A．(
，
) B．(
，
) C．(
，
) D．(
，
)

4．设l，m是两条不同的直线，
是一个平面，则下列说法正确的是

A．若l
m，m
，则
B．若
，l ∥m，则m

C．若
，m
，则
D．若
，m
，则

5．若P是
的充分不必要条件，则
p是q的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．设
，则

A．a>b>c B．a>c>b

C．b>c>a D．c>a>b

7．阅读如图所示的程序框图，则输出的A的值是

A．15 B．21

C．28 D．36

8．已知双曲线
(a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线
截得的弦长为
a，则双曲线的离心率为

A．3 B．2 C．
D．

9．将函数
的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
，再将所得图象向右平移
得到函数g(x)，则函数g(x)的解析式为

A．
B．

C．
D．

10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为

A．
B．

C．4
D．

11．
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB=
，cosB=
，则a+c=

A．
B．
C．
D．

12．已知
，则满足不等式
的实数t的集合为

A．[e-1，e] B．[e-2，e2] C：[0，e2] D．[e-2，e]

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)

13．若
，则
= ．

14．有一底面半径为l，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .

15．已知实数x，y满足不等式组
，若目标函数
仅在点(1，k)处取得最小值，则实数k的取值范围是 ．

16．已知点A(
，
)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，点M、N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若
=3，则点A到动直线MN的最大距离为 ．

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分l2分)

已知数列{ an }的前n项和为Sn，且
．．

(I)求数列{ an }的通项公式；

(Ⅱ)设bn =
，求数列{bn}的前n项和
．

18．(本小题满分12分)

微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90％的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上．若将员工年龄分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，使用微信的人中75％是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中手是青年人．

(I)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；

2×2列联表

青年人

中年人

合计



经常使用微信









不经常使用微信









合计











(II)由列联表中所得数据，是否有99．9％的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?

(Ⅲ)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A “选出的2人均是青年人”的概率．

P(K2≥k)

0.010

0.001



k

6.635

10.828



附：

19，(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面
ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点．

(I)求证：平面Al MC
平面AA1C1C；

(Ⅱ)求点A到平面A1MC的距离．

20．(本小题满分12分)

椭圆C：
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1，0)、F2(1，0)，椭圆C的上顶点与右顶点的距离为
，过F2的直线与椭圆C交于A、B两点．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)点M在直线戈x=2上，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，若k1+k2=2，求证：点M为定点．

21．(本小题满分12分)

函数
，

(I)若函数
，求函数
的极值；

(II)若
在x∈(0，3)恒成立，求实数m的取值范围．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答。并用28铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．(本小题满分10分)选修4一l：几何证明选讲

如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是
ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．

(I)求证：CE
AB=AE
AC；

(Ⅱ)若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(
，
)，点Q的极坐标是(
，
+
)，其中
是常数．设点Q的平面直角坐标是(m，n)．

(I)用x，y，
表示m，n；

(Ⅱ)若m，n满足mn=1，且
=
，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知a，b，c>0，a+b+c=1．

求证：(I)
；

(II)
.

2015年高三第二次联合模拟考试

文科数学答案

一．选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

D

A

B

B

A

B

D

C

A

C

B





二．填空题

13．
　　14．
　　15．
　　　16．

三.解答题

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时
……2分

当
时

， ……4分

数列
满足
（
），且

（
）． ……6分

（Ⅱ）

……8分

两式相减，得

． ……12分

18．（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：
人

经常使用微信的有
人，其中青年人：
人　

所以可列下面
列联表：

青年人

中年人

合计



经常使用微信

80

40

120



不经常使用微信

55

5

60



合计

135

45

180



……4分

（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：

……7分

由于
,所以有
的把握认为“经常使用微信与年龄有关”. ……8分

（Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有
人，中年人有2人

设4名青年人编号分别1,2,3,4，2名中年人编号分别为5,6，

则“从这6人中任选2人”的基本事件为：

（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15个 ……10分

其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）（2,4）（3,4）共6个 ……11分

故
． ……12分

19. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：

记
与
的交点为
.连结
.

直三棱柱
,点
是
中点,

.

因为点
是
、
的中点，

所以
且
， ……4分

从而
平面
.

因为
平面
，所以平面
平面
. ……6分

（Ⅱ）解：

过点Ａ作
于点
，

由（Ⅰ）知平面
平面
，平面
平面
，

而
平面

即为点
到平面
的距离． ……9分

在
中，
，

即点
到平面
的距离为
． 　　　　　　　　　　　 ……12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知：
……4分

（Ⅱ）若直线
斜率不存在，
．不妨设
，

则
，
，


……6分

若直线
斜率存在设为

设直线
方程为：
，

， ……7分

……8分

，

所以
……10分

所以定点
……12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，定义域











＋

０







递增

极大值

递减





，没有极小值. ……4分

（Ⅱ）
在
恒成立；

整理为：
在
恒成立；

设
， 则
， ……6分

时，
，且
，
，
； ……7分