安庆市2014～2015学年度第一学期期末教学质量调研监测

高三数学试题（A）参考答案及评分标准

一、选择题

1. B 【解析】
，∴
.

2. A 【解析】∵
，∴

.

又
，∴(
)∩B
.

3. D 【解析】由
，得公比
.∴
.

4. C 【解析】
.

5. C 【解析】由
，得
.

由
，得
，所以
.

6. B 【解析】几何体的上半部是半个圆锥，下半部是圆柱，

7. D 【解析】根据题设知直线
的方程为
，由直线
与圆
相切，得

，所以
.

8. C 【解析】
，

由
，得
.

9. A 【解析】当
时，
，易证
.又函数
的图象与
的图象关于直线
对称，所以
，从而
.故若
，有
；若
，因为当
时，
，显然
单调递增.又
，
，所以
是
唯一的零点，且
.

所以当
时，由
得
.

10. D 【解析】由
，可得
.又满足条件的实数的整数值只有1，2，3，所以
，
，即
，
.

所以
，2，…，9；
，26，…，31，32.

故有序实数对
共有
对.

二、填空题

11. 若
或
，则
.

12. 4 【解析】
，
，
，

由
，得
.

13.
【解析】将
两边取对数得，

，∴
，

得
或
.∴
或
.

14.
【解析】根据题意可知满足条件的可行域为一个三角形内部（包括边界），故的最值应在三角形的顶点处取得，而其中一个顶点为
不符合题意，另一个顶点
应为的最小值点，所以
，那么第3个顶点满足
，得第3个顶点
.

所以
，所以
.

15 ① ②

【解析】① 设
(
为常数)，由
得
，

∴
或
. 当
时，
可以取任何实数.

② 若
是一个
伴随函数，则
，

即
对任意的实数成立，∴
，无解.

③ 由
得
.作函数
和
的图象，易知满足
的
存在.

④ 由
，令
得
.若
，则
为
的一个零点；若
，则
.因为
的图象是连续的，所以
在区间
内至少有一个零点.

三、解答题

16. 【解析】（1）根据
和正弦定理，可得

.

在△
中，
，所以
，故
. ………6分

（2）
，
.

由
，得
.

所以
的单调增区间
(
). …………12分

17. 【解析】（1）由题设可知
//
，
//
，从而
//平面
，
//平面
.因为
和
在平面
内，所以平面
//平面
.

又
在平面
内，所以
// 平面
. …………5分

（2）由条件知
，若
，则△
为等边三角形，取
中点
，连
，则
⊥
.

因为
⊥
，
⊥
，所以
⊥平面
，所以
⊥
，因此
⊥平面
，

从而可以建立如图所示的空间直角坐标系
.

由
，
，易得
，
、
.由∠
∠
°可得
.

所以
，
，
.

设平面
和平面
的法向量分别为
，
，则

可取
，
，

所以
.

故所求的二面角的余弦值为
. …………12分

18. 【解析】（1）笨鸟第四次能飞出窗户的概率

. …………4分

（2）用
表示聪明鸟试飞次数，则
，，
.

其分布列为

1

2

3













…………8分

（3）用表示笨鸟试飞次数，

则

. …………12分

19. 【解析】（1）因为
，
，
，所以当
时，
的定义域为
；当
时，
的定义域为
.

又
，

故当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
有极小值
；

当
时，
，
，所以
在
上单调递增，无极值. …………6分

（2）解法一：

当
时，
，由（1）知当且仅当
时，
.

因为
，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，当且仅当
时，
.

当≤0时，由于
，
，所以
恒成立；

当
时，
，要使不等式
恒成立，只需
，即
.

综上得所求实数的取值范围为
. …………13分

解法二：

当
时，
，所以
，
，

故
.

令
，则
.

由（1）可知
，所以当
时，
，当
时，
，

所以
.

故当
时，不等式
恒成立. …………13分

20. 【解析】（1）设点
的坐标为
，则由题意知点的坐标为
.

因为在圆
：
上，所以
.

故所求的动点
的轨迹的方程为
（或
）. ……4分

（2）① 当直线
垂直于轴时，由
易知
，
，所以
，不符合题意. …………6分

② 当直线
与轴不垂直时，设其方程为
，代入
，整理得
.

设
，
，则
，
，

所以
，

.

从而

. …………9分

注：若学生利用相交弦定理，也可给分.

具体解法如下：设圆
与轴的两交点分别为
、
，根据相交弦定理得
.

将
代入
，整理得
.

.

设
，
，则
，
，

所以
，

.

从而
.

故
.…………12分

注：
也可由弦长公式或焦半径公式求解.

综上，存在两条符合条件的直线
，其方程为
. ……13分

21. 【解析】（1）当