徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟

数学Ⅰ

参考公式：棱柱的体积公式：
其中
是棱柱的底面积，
是高.

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1.已知复数
是虚数单位），则
的模为 ▲ .

2.已知集合
则
▲ .

3.如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间
内，空气质量为优；在区间
内，空气质量为良；在区间
内，空气质量为轻微污染；
由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.

4.执行如图所示的算法流程图，则输出
的值是 ▲ .

5.已知集合
若从
中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 ▲ .

6.设等差数列
的前
项为
则
的值为 ▲ .

7.设函数
，则
的值为 ▲ .

8.已知双曲线
的离心率为2，它的一个焦点是抛物线
的焦点，则双曲线
的标准方程为 ▲ .

9.已知函数
若
则函数
的最小正周期为 ▲ .

10.在三棱柱
中，侧棱
平面
底面△
是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ▲ .



11.如图，半径为2的扇形的圆心角为
分别为半径
的中点，
为弧
上任意一点，则
的取值范围是 ▲ .

12.在平面直角坐标系
中，已知圆
点
若圆
上存在点
满足
则实数
的取值范围是 ▲ .

13.已知实数
满足条件
若不等式
恒成立，则实数
的最大值是 ▲ .

14.若函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

在△
，角
的对边分别为
已知

求
的值；

若
求△
的面积.

16. （本小题满分14分）

如图，矩形
所在平面与三角形
所在平面相交于
平面

求证：
平面

若点
在线段
上，
为线段
中点，求证：
平面

17. （本小题满分14分）

如图，在
地正西方向
的
处和正东方向
的
处各一条正北方向的公路
和
现计划在
和
路边各修建一个物流中心
和
. 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路
和
设

（1）为减少周边区域的影响，试确定
的位置，使△
与△
的面积之和最小；

（2）为节省建设成本，试确定
的位置，使
的值最小.

18.(本小题满分16分)

如图，已知椭圆
其率心率为
两条准线之间的距离为
分别为椭圆
的上、下顶点，过点
的直线
分别与椭圆
交于
两点.

（1）椭圆
的标准方程；

（2）若△
的面积是△
的面积的
倍，求
的最大值.

19.（本小题满分16分）

设正项数列
的前
项和为
且
正项等比数列
满足：

（2）设
数列
的前
项和为
求所有正整数
的值，使得
恰好为数列
中的项.

20.（本小题满分16分）

已知函数
其中
为常数.

（1）当
时，若函数
在
上的最小值为
求
的值；

（2）讨论函数
在区间
上单调性；

（3）若曲线
上存在一点
使得曲线在点
处的切线与经过点
的另一条切线互相垂直，求
的取值范围.

徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，已知直线
为圆
的切线，切点为
点
在圆上，
的角平分线
交圆于点
垂直
交圆于点
证明：

B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵
的逆矩阵
，求曲线
在矩阵
对应的交换作用下所得的曲线方程.

C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

已知曲线
的参数方程为
为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，求
与
交点的极坐标，其中

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知
都是正数，求证：

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．（本小题满分10分）

如图，在菱形
中，

沿对角线
将△
折起，使
之间的距离为
若
分别为线段
上的动点?

???求线段
长度的最小值；

（?）当线段
长度最小时，求直线
与平面
所成角的正弦值?

23.(本小题满分10分)

设
且
对于二项式

（1）当
时，分别将该二项式表示为
的形式；

（2）求证：存在
使得等式
与
同时成立.

徐州市2015届高三年级第三次质量检测

数学Ⅰ参考答案

一、填空题

1.5 2.{2} 3.28 4.4 5.
6. 37　 7.
8.
　9.
10.
11.
12.
13.
14.

二、解答题

15.（1）因为
，
，所以
． ………………………2分

因为
，

所以

，…………5分

由题意
，所以
，

所以
．……………………………………………………………………7分

（2）由（1）知
，所以
，
．…………………………9分

由正弦定理得
，所以
…………………………11分

又
， ……………………………………………………………12分

所以
．………………………………………14分

16．（1）因为
平面
，
平面
，

所以
． 又因为
//
，所以
．……………………………2分

在矩形
中，
， …………………………4分

因为
，
平面
，

所以
平面
． ……………………………6分

（2）连结AN交BD于F点，连结FM ，………………………………………………8分

因为
//
且
，

所以
， ………………………………10分

又AM=2ME，所以
//
， ………………………………12分

又
平面
,
平面
，

所以
//平面
. ………………………………14分

17.（1）在Rt△PAE中，由题意可知
，AP=8，则
．

所以
． ………………………………………2分

同理在Rt△PBF中，
，PB＝1，则
，

所以
． ………………………………………………4分

故△PAE与△PFB的面积之和为
…………………………5分

=8，

当且仅当
，即
时，取“＝”，

故当AE=1km， BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．………………6分

（2）在Rt△PAE中，由题意可知
，则
．

同理在Rt△PBF中，
，则
．

令
，
， ………………………………8分

则
， ………………………………10分

令
，得
，记
，
，

当
时，
，
单调减；

当
时，
，
单调增．

所以
时，
取得最小值， …………………………………12分

此时
，
．

所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小． ……………………14分

18.（1）由题意
，解得
，

所以
，椭圆方程为
． …………………………………………4分

（2）解法一：
， …………………………………………6分

直线
方程为：
，联立
，得
，所以
　到

的距离

， …………………………8分

直线
方程为：
，联立
，得
，

所以
，所以

，……10分

所以
，

所以
， ……………………………………12分

令
，则
，……………………14分

当且仅当
，即
时，取“