2015年5月高三模拟考试

理科数学试卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合
，
，则

A．
B．
C.
D.

2．下列说法中正确的是

A．命题“若
，则
”的逆命题是真命题

B．命题
，
,则
，

C. “
”是“
”成立的充分条件

D.在某项测量中，测量结果
服从正态分布
，若
在
内取值的概率为，则
在
内取值的概率为0.6

3.若
是纯虚数，则
的值为

A．
B．
C.
D.
或

4．已知
，
，则函数
为增函数的概率是

A．
B．
C.
D.

5．对任意非零实数
、
,若
的运算原理如右图所示，则
的值为

A．
B．
C.
D.

6．某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

A．
B．
C.
D.

7．
的外接圆的圆心为
，半径为
，
且
，则向量
在
方向上的投影为

A．
B．
C.
D.

8．关于函数
和实数
、
的下列结论中正确的是

　 A． 若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n） B． 若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）

　 C． 若f（m）＜f（n），则m2＜n2 D． 若f（m）＜f（n），则m3＜n3

9．已知抛物线
：
的焦点为
，准线为
，
是
上一点，
是直线
与
的一个交点，若
，则
=

A.
B.
C. 3 D. 2

10．某种波的传播是由曲线
来实现的，我们把函数解析式
称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加.已知“1 类波”中的两个波
叠加后仍是“1类波”，则
的值可能为

A .
B.
C.
D.

二．填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在极坐标中，直线
被圆
与所截得的弦长为 ．

12．如右图，⊙
是
的

外接圆，
，延长
到点
，连结

交⊙
于点
，连结
，若
,则

的大小为 ．

13．若两个正实数
满足
，

且
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

（二）必做题（14—16题）

14．若
，则
的展开式中常数项为 .

15.若数列
满足
，
，则称数列
为“梦想数列”. 已知正项数列
为“梦想数列”，且
，则
的最小值是 。

16．已知函数
是
上的减函数，且
的图象关于点
成中心对称．若
满足不等式组
则
的最小值为 。

三．解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知正方形
的边长为2，
分别是边
的中点．（Ⅰ）在正方形
内部随机取一点
，求满足
的概率；

（Ⅱ）从
这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为
，求随机变量
的分布列与数学期望
．

18．（本小题满分12分）

在数列

中，其前
项和为
，满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）设
（
为正整数）,求数列
的前
项和
．

19．（本小题满分12分）

如图，已知长方形
中，
,
为
的中点.将
沿
折起，使得平面
平面
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若点
是线段
上的一动点，问点E在何位置时，二面角
的余弦值为
．

20．(本小题满分13分)

某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间
（秒）的变化规律大致可用
（
为时间参数，
的单位：
）来描述，其中地面可作为
轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为
轴。

（Ⅰ）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（Ⅱ）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

21．(本小题满分13分)

已知中心在原点，焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，椭圆上异于长轴顶点的任意点
与左右两焦点
，
构成的三角形中面积的最大值为

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）已知点
，联结
与椭圆的另一交点记为
，若
与椭圆相切则视为
、
重合，联结
与椭圆的另一交点记为
，求
的取值范围.

22．(本小题满分13分)

已知函数
，

( I ) 若函数
在其定义域内为单调函数，求
的取值范围;

( II ) 若函数
的图像在x=1处的切线斜率为0，且

，（
，
）

证明：对任意的正整数n,当
时，有
.

2015年5月高三模拟考试理科数学参考答案

1~10： CCCBB； DCCAD

11．2 12．
13．

14、
15、4 16、

17．解：（Ⅰ）所有点
构成的平面区域是正方形
的内部，其面积是
． 满足
的点
构成的平面区域是以
为圆心，
为半径的圆的内部与正方形
内部的公共部分，它可以看作是由一个以
为圆心、
为半径、圆心角为
的扇形
的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△
和△
）内部构成．其面积是
．

所以满足
的概率为
6分

（Ⅱ）从
这八个点中，任意选取两个点，共可构成
条不同的线段．其中长度为1的线段有8条，长度为
的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为
的线段有8条，长度为
的线段有2条．

所以
所有可能的取值为
．

且
，
，
，

，
．

所以随机变量
的分布列为：



























随机变量
的数学期望为

12分

18．解:（Ⅰ）由题设得:
,所以

所以

2分

当
时，
,数列
是
为首项、公差为
的等差数列

故
． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
6分

9分

设

则

两式相减得：

整理得：
11分

所以
12分

19．解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=
，

所以

又因为面
平面
，

所以，

4分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系

由（I）可知，平面ADM的法向量

设平面ABCM的法向量
，

所以，

10分

二面角
的余弦值为

得，
，即：E为DB的中点。 12分

20．解：（Ⅰ）当
时，

因
时，
，故
，

从而当
，即当
时，
有最小值5，

所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是
6分

（Ⅱ）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：
，（
）

问题转化为在
，
的条件下，求
的最大值。 9分

法一：
，由
和
及
得：

12分

法二：∵
，
，

=

∴当
，即
，
，

由
可解得：
。 12分

答：花坛的长为
，宽为
，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。 13分

21．解：（Ⅰ）由题可知：
，

解得：
，
，

故椭圆
的方程为：
5分

（Ⅱ）不妨设
，
，

由题意可知直线
的斜率是存在的，故设直线
的斜率为
，直线
的斜率为

的方程为：
代入椭圆方程
得

将

代入解得：
7分

的方程为：
代入椭圆方程
得

将
，
代入解得：
9分

∴
又∵
，
不重合，∴
10分

=
(
) 12分

∴
13分

22．解：（Ⅰ）函数
的定义域是
　　　　　　　　　

因为
所以有

所以
１分

　 ２分

当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递减;　　　３分

当
时，若函数
在其定义域内单调递增，

则有
恒成立即

因为
所以
且
时
不恒为0 ４分

若函数
在其定义域内单调递减，

则有
恒成立即

因为
所以
综上，

函数
在定义域内单调时
的取值范围是
　 ５分

（Ⅱ）因为函数
的图像在x=1处的切线斜率为0，所以

即
所以

所以
６分

令
　 说明　此处可有多种构造函数的方法，通

所以
　 ７分 常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数

当