南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学 2015.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1．已知复数z＝－1，其中i为虚数单位，则z的模为 ▲ ．

2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：

排队人数

0

1

2

3

4

≥5



概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04



则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．

3．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是 ▲ ．

4．右图是一个算法流程图，则输出k的值

是 ▲ ．

5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次

训练成绩（单位：环）的茎叶图，则

成绩较为稳定（方差较小）的运动员

是 ▲ ．

6．记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 ▲ ．

7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．

8．已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ．

9．在△ABC中， (ABC＝120(，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则·的值

为 ▲ ．

10．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若Sk－1＝8，Sk＝0，Sk＋1＝－10，则正整数k＝ ▲ ．

11．若将函数f(x)＝∣sin((x－)∣((＞0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数(的最小值是 ▲ ．

12．已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为 ▲ ．

14．已知a，t为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）求sinB＋sinC的取值范围．

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E为PA的中点．

（1）求证：BE∥平面PCD；

（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）

如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记(AOP＝(，( ∈(0，π)．

（1）当( ＝ 时，求点P距地面的高度PQ；

（2）试确定( 的值，使得(MPN取得最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线

l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．

（1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值；

（2）已知定点A(－2，0)．

①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围；

②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，

若 ＝λ，＝(，求证：λ＋(为定值．

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)＝x2－x＋t，t≥0，g(x)＝lnx．

（1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；

（2）直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，n∈N*，

都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n．

（1）求的值；

（2）求证：{an}为等比数列；

（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p(p≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp，Rp，且Tp＝Rp，求证：对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk．

南京市2015届高三年级第三次模拟考试

数学附加题 2015.05

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE· CD＝BD· CE．

B．选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵A＝，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为

直线l(：x－y＋2a＝0．

（1）求实数a的值；

（2）求A2．

C．选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，设圆C：(＝4 cos( 与直线l：(＝ ((∈R)交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．

D．选修4－5：不等式选讲

已知实数x，y满足x＞y，求证：2x＋ ≥2y＋3．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，四棱锥P－ABCD中，PA(平面ABCD，AD∥BC，AB(AD，BC＝，AB＝1，BD＝PA＝2．

（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－PD－C的余弦值．

23．（本小题满分10分）

已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f(n)．

（1）求f(3)，f(4)；

（2）求f(n)（用含n的式子表示）．

南京市2015届高三第三次模拟考试

数学参考答案及评分标准 2015.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 2．0.74 3．4 4．6 5．甲

6．(－∞，－3] 7．4 8．12 9． 10．9

11． 12．  13．[－，＋∞) 14．(0，1)∪{2}

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．解：（1）因为acosC＋ccosA＝2bcosA，所以sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA，

即sin(A＋C)＝2sinBcosA．

因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB．

从而sinB＝2sinBcosA． ………………………… 4分

因为sinB≠0，所以cosA＝．

因为0＜A＜π，所以A＝． ………………………… 7分

（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin(－B)＝sinB＋sincosB－cossinB

＝sinB＋cosB＝sin(B＋)． ………………………… 11分

因为0＜B＜，所以＜B＋＜．

所以sinB＋sinC的取值范围为(，]． ………………………… 14分

16．证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF．

因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝AD．

因为BC∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC，EF＝BC．

所以四边形BCFE为平行四边形．

所以BE∥CF． ………………………… 4分

因为BE(平面PCD，CF(平面PCD，

所以BE∥平面PCD． ………………………… 6分

（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．

因为BE∥CF，所以PA⊥CF． ………………………… 9分

因为PA⊥PD，PD(平面PCD，CF(平面PCD，PD∩CF＝F，

所以PA⊥平面PCD． ………………………… 12分

因为PA(平面PAB，所以平面PAB(平面PCD． ………………………… 14分

17．解：（1）由题意，得PQ＝50－50cos( ．

从而，当( ＝ 时，PQ＝50－50cos＝75．

即点P距地面的高度为75m． ………………………… 4分

（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sin( ，从而MQ＝60－50sin( ，NQ＝300－50sin( ．

又PQ＝50－50cos( ，

所以tan(NPQ＝＝ ，tan(MPQ＝＝ ．

………………………… 6分

从而tan(MPN＝tan((NPQ－(MPQ)

＝＝

＝ ． ………………………… 9分

令g(( )＝ ，( ∈(0，π)，

则g((()＝ ，( ∈(0，π)．

由g((()＝0，得sin( ＋cos( －1＝0，解得( ＝ ．

………………………… 11分

当( ∈(0，)时，g((( )＞0，g(( )为增函数；当( ∈(，()时，g((( )＜0，g(( )为减函数，

所以，当( ＝ 时，g(( )有极大值，也为最大值．

因为0＜(MPQ＜(NPQ＜，所以0＜(MPN＜，

从而当g(( )＝tan(MPN取得最大值时，(MPN取得最大值．

即当( ＝ 时，(MPN取得最大值． ………………………… 14分

（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，

则圆O的方程为 x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M(60，0)，N(300，0)．

设点P的坐标为 (x0，y0)，所以Q (x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0．

从而tan(NPQ＝＝ ，tan(MPQ＝＝ ．

………………………… 6分

从而tan(MPN＝tan((NPQ－(MPQ)

＝＝

＝ ．

由题意知，x0＝50sin( ，y0＝50－50cos( ，

所以tan(MPN＝＝ ． ………………………… 9分

（下同方法一）

18．解：（1）设椭圆C的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)．

由题意，得 解得

所以椭圆方程为＋＝1．

因为椭圆C过点(，1)，所以＋＝1，

解得m＝2或m＝－ (舍去）．

所以m＝2． ………………………… 4分

（2）①设点T(x，y)．

由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． ………………… 6分

由 得y2＝m2－m．

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2．

所以椭圆C的离心率e＝[，]． ………………………… 10分

②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

则＝(x0＋2，y0)，＝(x1＋2，y1)．

由＝(， 得 

从而 ………………………… 12分

因为＋y02＝1，所以＋((y1)2＝1．

即(2(＋y12)＋2(((－1)x1＋2((－1)2－1＝0．

因为 ＋y12＝1，代入得2( ((－1)x1＋3(2－4(＋1＝0．

由题意知，(≠1，

故x1＝－，所以x0＝．

同理可得x0＝． ………………………… 14分

因此＝，

所以(＋(＝6． ………………………… 16分

（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

直线AM的方程为y＝(x＋2)．

将y＝(x＋2)代入＋y2＝1，得((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2 ＝0(*)．

因为＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0．

因为x0x1＝－，所以x1＝－．

同理x2＝． ………………………… 14分

因为＝(，＝(，

所以(＋(＝＋＝＋

＝＋＝6．

即λ＋(为定值6． ………………………… 16分

19．解：（1）由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x＋t＋lnx，得h' (x)＝2x－1＋，x＞0．

因为2x＋≥2＝2，所以h' (x)＞0，

从而函数h(x)是增函数． ………………………… 3分

（2）记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，x12－x1＋t)，(x2，lnx2)，

由f'(x)＝2x－1，得l的方程为y－(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x－x1)，即y＝(2x1－1)x－x12＋t．

由g'(x)＝，得l的方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝· x＋lnx2－1．

所以(*)

消去x1得lnx2＋－(t＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分

令F(x)＝lnx＋－(t＋1)，则F'(x)＝－＝＝，x＞0．

由F'(x)＝0，解得x＝1．

当0＜x＜1时，F'(x)＜0，当x＞1时，F'(x)＞0，

所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

从而F(x)min＝F(1)＝－t． ………………………… 9分

当t＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，

即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分

当t＞0时