2015-2016学年高三暑假入学考试

数学试卷

试卷满分：150分 考试时间：120分

一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1．设集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|y=log2（2﹣x）}，则A∩（
）=

　 A． {2，3} B．{﹣1，6} C．{3} D．{6}

2．设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．与椭圆
共焦点,且渐近线为
的双曲线方程是

A．
B．
C．
D．

4．已知命题
存在
；命题

中，
是

的充分条件；则下列命题是真命题的是

且


或


且


或

5. 某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是

A．﹣1 B.0. 5 C．2 D．10

6．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为

　 A． 11 B． 10 C． 9 D．8.5

7．已知向量
=（sin（α+
），1），
=（4，4cosα﹣
），若
⊥
，则sin（α+
）等于

　 A．﹣
B． ﹣
C．
D．

8．等比数列
中，
，
是方程
（k为常数）的两根，若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D． 8

9．已知函数
的图象如图(其中
是函数
的导函数),下面四个图象中,
的图象可能是

10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中
）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象

　 A．向右平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位

11．已知P是双曲线
上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是
，且

的面积为9，则a+b的值为

　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

12．定义域为R的函数
，若关于
的方程
恰有3个不同的实数解
，则
等于

A．0 B．l C．3lg2 D．2lg2

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13．已知x和y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

m

3

5.5

7



求得关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，则m的值为 .

14．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率 .

15．若函数f（x）=x3+a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　_______．

16．过抛物线
的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若
，则
的面积为 .

三、解答题:（本大题共6小题，共70分．）

17．（本小题满分12分）

在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且
=﹣
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若

，求角C的取值范围．

18．（本小题满分12分）

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

19．（本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
,且
(
是常数,
),
.

(Ⅰ)求
的值及数列
的通项公式;

(Ⅱ)证明:
.

20.（本小题满分12分）

已知圆
，定点
，动圆
过点
，且与圆
相内切.

（Ⅰ）求动圆圆心
的轨迹方程；

（Ⅱ）若
为坐标原点，
是轨迹
上的三个点，当点
不落在坐标轴上时，试判断四边形
是否可能为菱形，并说明理由.

21.（本小题满分12分）

设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．

（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣
相切，求实数a、b的值；

（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，
]，x∈（1，e2]都成立（e为自然对数的底数），求实数m的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图已知⊿ABC中的两条角分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF

（Ⅰ）证明：B，D，H，E四点共圆；

（Ⅱ）证明：CE平分∠DEF.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
，

（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线；

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A的距离4倍与C到距离的6倍的和．

（Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？

数学参考答案

一．选择题

1—12 DCABA CBABD CD 13．0．5 14．  15．[－3，0] 16．

17．解:(Ⅰ)由已知得2cosB＝－，….2分 由于△ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A＝1.….4分

∵A∈(0，π)，∴2A＝，∴A＝.…6分

(Ⅱ)∵
，由(1)知
，

即
….9分 ∴tanC>1，∵0

18．解:(Ⅰ)由题设可知，第3组的频率为0.06×5＝0.3，人数为0.3×100＝30人；

第4组的频率为0.04×5＝0.2，人数为0.2×100＝20人；

第5组的频率为0.02×5＝0.1，人数为0.1×100＝10人．……….3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者，若利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第3组为×6＝3；第4组为×6＝2；第5组为×6＝1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者．…………………….6分

(Ⅱ)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的一名志愿者为C.

则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15种．……9

其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，

(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9种．……11分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为＝.…………….12分

19．(Ⅰ)解:因为
, 　　所以当
时,
,解得
,

当
时,
,即
,解得
, 　所以
,解得
;

则
,由递推作差累乘得
.

(Ⅱ)因为

.

因为
所以

20. （1）由定义可推出＋y2＝1 (2)假设四边形OABC为菱形．

因为点B不是M的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

＝－，＝k·＋m＝. 所以AC的中点为H.

因为H为AC和OB的交点， 所以直线OB的斜率为－. 因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．

所以OABC不是菱形，与假设矛盾． 所以当点B不是M的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

21．解：（Ⅰ）∵
，又函数
在
处与直线
相切，

，解得
． …… 5分

（Ⅱ）当b=0时，
，若不等式
对所有的
都成立，即
对所有的
都成立，令
，则
为一次函数，∴
．……… 8分

上单调递增

对所有的
都成立．

．…… 12分

（注：也可令
所有的
都成立，分类讨论得
对所有的
都成立，
，请根据过程酌情给分）

22．解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD,CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆。

（Ⅱ）连结BH，则BH为
的平分线，得
30° 由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，

所以
30°又
60°，由已知可得
，可得
30° 所以CE平分

23．解：（Ⅰ）

为圆心是
，半径是1的圆。

为中心是坐标原点，焦点在
轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

（Ⅱ）当
时，
，故
，
为直线
，

M到
的距离
从而当
时，
取得最小值

24．解：（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，