2016届高三摸底考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效，交卷时只交答题卡.

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22，23，24题为选考题，考生根据要求作答，其它题为必考题，分别答在答题卡（Ⅰ卷）和答题卡（Ⅱ卷）上．

第Ⅰ卷

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。在试题卷上作答无效.

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

选择题：

设全集
，集合
，
，则
等于

．
　　
．
　
．
　　　　

2．已知
是虚数单位，若
，则

．

．

．

３．命题“对任意
R，都有
”的否定为

． 对任意
R，都有

．不存在
R，都有

．存在
R，使得

存在
R，使得

某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9

的样本，则抽取的女生人数为

．6
．4
．3
2

５．６个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为

．12
．18
．24
36

6. 已知
是2条不同的直线，
是一个平面，则下列说法正确的是

．若
//
，则
//

.若
//
,
,则
//

．若
, 则
//
， D.若
，则
//

7.已知实数
满足
则
的最大值为

．10
．8
．2
0

8．若关于
的方程
有4个不同的实根，则
的取值范围为

．

．

．

已知直线
和圆
，点A在直线
上，
为

圆M上的2个点，在
中，
过圆心M，则点A横坐标的取值范围为

．

．

．

已知函数
（其中
）的图像与直线
的2个相邻公

共点之间的距离等于
，则
的单调递减区间是

．


．

．

11.若
是
与
的等比中项，则
的最大值为

．

．

．

设偶函数
满足
，且当
时，
.又函数

=
，则函数
在区间
上的零点个数为

．5
． 6
． 7
8

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、座号填写在答题卡密封线内

2.本试卷共10小题，共90分.

3.答题时，严格在题卡中题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，

则其表面积的最小值为 .

斜率为1的直线
经过抛物线
的焦点
，且与抛物

线相交于
两点， 则
.

如果点
在运动过程中，总满足关系式
，则

点M的轨迹方程为 .

16. 在
中，
点P满足

，则
的值为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)

在数列
中，前
项和为
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，求
的取值范围。

(本小题满分12分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：

乙：

（Ⅰ）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图；

（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学角度，你认为选派哪位学生参加合理，请说明理由；

（Ⅲ）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为
，求
的分布列及数学期望
.

19．(本小题满分12分)

如图，已知ABCD是正方形，直线
平面ABCD，

且AB=AE=1.

（Ⅰ）求异面直线AC,DE所成的角；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）设P为棱DE的中点，在
的内部或边上是

否存在一点H，使
平面ACE？若存在求出点H的位置，若不存在说明理由.

20．(本小题满分12分)

已知
的3个顶点为
，其外接圆为圆
.

（Ⅰ）求圆H的方程；

（Ⅱ）若直线
过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线
的方程；

（Ⅲ）对于线段HB上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的2个点M,N， 使

得点
是线段PN的中点，求圆C的半径
的取值范围.

21．(本小题满分12分)

已知函数
（其中
是自然对数的底数）.

（Ⅰ）若
，试判断函数
在区间
上的单调性；

（Ⅱ）若
，当
时，试比较
与2的大小；

（Ⅲ）若函数
有两个极值点

，求
的取值范围，并证明
.

选做题：请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．(本小题满分10分)

选修4-1：几何证明选讲

如图，设AB为⊙
的任意一条不与直线
垂直的直径，

P是⊙
与
的公共点，
，垂足分别

为C,D，且
，求证：

（Ⅰ）
是⊙
的切线；

（Ⅱ）PB平分
.

23．（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与
轴的正半轴重合，曲线C的极坐

标方程为
，直线
的参数方程为
（t为参数，

R），试在曲线C上求一点M，使它到直线
的距离最大.

24．(本小题满分10分)

选修4-5：不等式选讲

已知
，试求函数
的最大值.

理科数学参考答案

选择题：AADCCC BCDABB

填空题：13.
14. 8 15.
. 16. 9

解答题：

17解 1）当
时，
;当
时，
，经验证，
满足上式，故数列
的通项公式
。-----------------6分

有题意，易得
，则
，两式相减，得
，所以
。

由于
，则
单调递增，故
，故
的取值范围是
.

-------------------------12分

18. 解：（Ⅰ）

------2分

（Ⅱ）假设含90分为高分，则甲的高分率
，乙的高分率为
，所以派乙合适。--------6

（Ⅲ）甲高于80分的频率
.----------7分

的可能取值为0,1,2,3.-------8分

∵
，

∴

0

1

2

3



P











∴
的分布列为

--------10分

∴
.--------12分

19.

解 1） 以A为坐标原点、AD为x轴，AE为y轴、AB为z轴建立坐标系，则
，
从而
，于是

,

因此异面直线AC与DE所成角为
.---------------------4分

由于
，设平面ACE的法向量为
，

则

令
，得
，同理可得平面CDE的法向量为
，因此其法向量的夹角为
，即二面角
的大小为
.------------------------8分

由于
，设
（其中
），则

.

由
面ACE,得