扶余市第一中学2015—2016学年度上学期第一次月考试题

高三数学文科

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。

第I卷 （选择题60分）

注意事项

1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．下面四个条件中，使
成立的充分而不必要的条件是( )

A.
B.
C.
D.

3．在三棱锥
中，已知
，
平面
,
. ?若其直观图、正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )

A.
B.
C.
D.

4. 已知命题
，则“
是真命题”是“
为假命题”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（ ）

A．
?B．
C．
D．
:]

6．两个变量
与
的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数
如 下，其中拟合效果最好的模型是 （ ）

A.模型1（相关指数
为0.97） B.模型2（相关指数
为0.89）

C.模型3（相关指数
为0.56 ） D.模型4（相关指数
为0.45）

7．给出下列关于互不相同的直线
、
、
和平面
、
的四个命题，其中为真命题的是( ) ．

①若
，
，点
，则
与
不共面；

② 若
、
是异面直线，
，
，且
，
，则
；

③ 若
，
，
，则
；

④ 若
，
，
，
，
，则
，

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

8．如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入

，则输出的
为（　 ）．

A．
B．
C．
D．

9．已知三棱锥
的底面是以为
斜边的等腰直角三角形，
设
四点均在以
为球心的某个球面上，则
到平面
的距离为 （ ）．

A．
B．
C．
D．

10．把等腰直角
沿斜边上的高
折成直二面角
，则
与平面
所成角的正切值为( ) ．

A．
?B．
C．
D．

11．在边长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）A．
B．
C．
D．

12．正四面体
外接球半径为3，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.

13．某班某次数学考试成绩好，中，差的学生人数之比为3：5：2，现在用分层抽样方法从中抽取容量为20的样本，则应从成绩好的学生中抽取__________名学生．

14．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元).

x

2

4

5

6

8



y

30

40

60

t

70



根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中t的值为________．来源学高考

15．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 ．

16．若命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿。某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：
，
，
，
，
，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。

（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；

（2）现在从年龄属于
和
的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
⊥平面
,

分别为
的中点．

（1）求证：

（2）证明：平面
⊥平面
．

19．（本小题满分12分）

如图所示的长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
为线段
的中点。

（1）求证：

（2）求三棱锥
的体积。

20．（本小题满分12分）

某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是0--9的某个整数）

（1）若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为谁去比较合适？

（2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100]之间的概率．

21．（本小题满分12分）

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），是否猜对歌曲名称数统计如图所示．

根据二维条形图写出
列联表；

是否有95%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？

说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635gkstkCom

7.879

10.828





请考生从(22)，(23)，(24)三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时用
铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若
，求
的值．

23．(本小题满分10分)选修4-4：极坐系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点
的极坐标为
，直线
过点
且与极轴成角为
，圆
的极坐标方程为
．

(1) 写出直线
参数方程，并把圆
的方程化为直角坐标方程；

(2) 设直线
与曲线圆
交于B、C两点，求
的值．

24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数

(1)求证：
；

⑵ 当
时，求不等式
的解集．

高三数学文科参考答案

1~12 BADAC ACCA B DA

13．6 14.50 15.
16.

17.解析：(1) 补充完成的频率分布直方图如下：

……………………3分

估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为

………………5分

……………………………………………………………………………6分

(2) 年龄属于
和
的分别有4人，2人，………………………8分

分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2

则从中随机抽取两人的所有可能情况有 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种，………………………10分

其中，两人属于同一年龄组的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)共7种， ………………………………………………………11分

∴ 所求的概率为
． ………………………………………………………12分

18．（Ⅰ）证明：如图，取
中点
，连接
因为
为
的中点，所以
且
　　　　　　　　　　……2分

因为
为菱形
边
的中点，所以
且
…………………3分 所以
且

，所以四边形
是平行四边形，所以
　　　　　　　　　…………………………………5分又因为
错误！未找到引用源。平面
，
平面
，所以直线
平面
．　…6分

(Ⅱ）证明：如图，连接
、
，相交于点错误！未找到引用源。，因为
⊥平面
,，所以
⊥平面
．

因为四边形
是菱形 所以
，
，

⊥平面
又
平面
，所以平面
⊥平面
．

19．解:（1）连接
，如图，∵
、
分别是
、
的中点，四边形
是矩形，

∴四边形
是平行四边形，∴
． …………………………2分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
．………………………… 4分

（2）连接
，∵正方形
的边长为
，
，

∴
，
，
，

则
，∴
． …………………………………………6分

∵在长方体
中，
，
，

∴
平面
，又
平面
，

∴
，又
，（法二：由
，
是
中点，得
）

∴
平面
． ………………………10分

……………………………12

20．解：（1）由已知中的茎叶图可得：甲的平均分为：
（88+89+90+91+92）=90，

由甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，故乙的平均分：
（84+88+89+90+a+96）=90，

解得：a=3，则
=
=2，
=17.2，

∵甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，但
＞
，

∴从成绩稳定性角度考虑，我认为甲去比较合适，

（2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，共有10种不同抽取方法，

其中至少有一次成绩在（90，100]之间有 7种方法，

故至少有一次成绩在（90，100]之间的概率P=

21. 解：(1)根据所给的二维条形图得到列联表，

正确

错误

合计



20~30（岁）

10

30

40



30~40（岁）

10

70

80gkstkCom



合计

20

100

120



(2)根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=
=3<3.841

∴没有95%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．

22.（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分

∴OD//AE 又AE⊥DE ……………3分

∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 ………………………5分

（II）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

…………6分

设OD=5x，则AB=10