2015学年第一学期高三调研测试一

数学（理科）

本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.设
是虚数单位，若复数满足
，则复数
的模

A.
B.
C.
D.

3.在
中，
， 则边长
为

A.
B.1 C.2 D.

4.椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率等于
，且它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，则椭圆
的标准方程为

A.
B.
C.
D.

5.下列程序框图中，输出的
的值是



A.
B.
C.
D.

6.将函数
的图象向左平移
个单位后的图形关于原点对称，则函数
在
上的最小值为

A.
B.
C.
D.

7.函数
的图像大致为

8.已知不等式组
所表示的平面区域为
，若直线
与平面区域
有公共点，则
的取值范围为是

A.
B.

C.
D.

9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为
的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

.

.

.

.

10.
的展开式中
的系数是

A.1 B.2 C.3 D.12

11.如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线的左右两支分别交于点
、
.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为

A.4 B.
C.
D.

12.已知函数
,则方程
恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13--21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22--24题为选考题，考生根据要求作答．

填空题(本大概题共4小题，每小题5分,共20分)

13.已知
，
，则
．

14.在
中，

．点
满足
，则
______,

15.如图，在边长为1的正方形
中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 ．

16.已知直三棱柱
中，
，侧面
的面积为
，则直三棱柱
外接球表面积的最小值为 ．

三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.(本小题满分12分)已知数列
满足：
,
，
，(
).

（1）求证：
是等差数列，并求出
；

（2）证明：
.

18.(本小题满分12分)如图，矩形
所在的平面与等边
所在的平面垂直，
，
为
的中点．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值.

19.(本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量（吨）

1

1.5

2



频数

10

25

15



频率

0.2









（1）求表中的
的值；

（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求:

① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率;

② 已知每吨该商品的销售利润为2千元,
表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求
的分布列和期望.

20.(本小题满分12分)已知椭圆C:
的离心率为
，且过点（1，
）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设与圆
相切的直线
交椭圆C与A,B两点，求
面积的最大值，及取得最大值时直线
的方程.

21.(本小题满分12分)已知函数
（
为自然对数的底数），曲线
在点
处的切线方程为
．

（1）求
，
的值；

（2）任意
，
时，证明：
．

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写请题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的直径，
是弧
的中点，
，垂足为
，
交
于点
.

（1）求证：
；

（2）若
，⊙
的半径为6，求
的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
,（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

(1) 求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

(2) 设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最小值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（1）解不等式：
；

（2）若
对一切实数
均成立，求
的取值范围．

2015学年第一学期高三调研测试一

理科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

B

B

D

C

D

A

C

A

C

B

B



二、13.
14.3 15.
16.

三、17.（1）得出
………………………………………………………………2分

为首项，2为公差的等差数列……………………………………………3分

…………………………………………………………5分

………………………………………………………………………………6分

（2）
……………………………………8分

………………10分

……………………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

（I）证明：连接
,
，因为
，
是
的中点，故
. ………1分

又因为平面
平面
，面
面

，
面
，

故
平面
. …………………2分

因为
面
，于是
. ……………………3分

又矩形
，
，所以
. ……………4分

又因为
，故
平面
， ………………5分

所以
. ………………6分

（Ⅱ）由（I）得，
，取
的中点
，以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系。因为
，所以，
，于是有
， ………………7分

从而
，
，

设平面
的法向量
，由
………………8分

得
得
， ………………9分

同理，可求得平面
的一个法向量
， ………………10分

设
的夹角为
，则
， ………………11分

由于二面角
为钝二面角，所以所求余弦值为
. ………………12分19、（1）由题意知：
-------------2分

（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率
， ----------3分

设5天中该种商品有
天的销售量为1.5吨，

则
，
---------4分

②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以
的可能取值为
，-----5分

则：

，

， -------------------------10分

的分布列为：

4

5

6

7

8





0.04

0.2

0.37

0.3

0.09



 -------------11分

∴
------------12分

20. 解析：（1）由题意可得：
————————2分

——————————4分

（2）①当
不存在时，
，

———5分

②当
存在时，设直线为
，

————6分

——————————7分

——————8分

———————10分

当且仅当
即
时等号成立 ————————11分

，

∴
面积的最大值为
，此时直线方程
. ———————12分

21. （本小题满分12分）

解：（1）

………………1分

， ………………2分

,
………………3分

又切线
过切点
,
， ………………4分

代入
得