汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期期中考试

高三理科数学 试题卷 命题人：许可

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知
为虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知数列
为等比数列，
，则
（ ）

A．
B．
或
C．
D．

4．如图，正方体
中，
为棱
的中点，用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）

A B C D

5．设双曲线
的渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
　　 B．2　　　　 C．
　 D．

6．已知平面向量
，
，
，要得到
的图像，只需将
的图像（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 Ｄ．向右平移
个单位长度

7．设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为8，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．定义平面向量的正弦积为
，（其中
为
、
的夹角），已知
中，
，则此三角形一定是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

9．运行如图所示的流程图，则输出的结果
是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图，矩形
内的阴影部分是由曲线
及直线
与
轴围成，向矩形
内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为
，则
的值是（ ）

A．
　　 B．
　　 C．
　 D．

11．已知向量
的夹角为

在
时取得最小值，当
时，夹角
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．设定义在
上函数

．若曲线
上存在点
使得
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
　 B．
　　 C．
　 D．

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数
，则
。

14．已知
，则
的值是 ．

15．已知函数
，在
中，
分别是角
的对边，若
，则
的最大值为。

16．已知实数
满足:
，这个方程确定的函数为
，若函数
有且只有一个零点，则实数
的取值范围是 。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：















0













0



0



0



（Ⅰ）请写出上表的
、
、
，并直接写出函数的解析式；

（Ⅱ）将
的图象沿
轴向右平移
个单位得到函数
的图象，
、
分别为函数
图象的最高点和最低点（如图），求
的大小．

18．（本小题满分12分）

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产
千件，需另投入成本为
，当年产量不足80千件时，
（万元）。当年产量不小于80千件时，
（万元），每件商品售价为0.05万元。通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。

（Ⅰ）写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，
平面
，
，
分别是
的中点．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知顶点为原点O的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合，
与
在第一和第四象限的交点分别为
．

（Ⅰ）若△AOB是边长为
的正三角形，求抛物线
的方程；

（Ⅱ）若
，求椭圆
的离心率
；

（Ⅲ）点
为椭圆
上异于
的任一点，若直线
、
分别与
轴交于点
和
，试探究：当
为常数时，
是否为定值？请证明你的结论．

21．（本小题满分12分）

已知函数
其中常数
。

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
当
时，若
在D内恒成立，则称
为函数
的“类对称点”，请你探究当
时，函数
是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由。

选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
。

（Ⅰ） 求
长；

（Ⅱ）当
⊥
时，求证：
。

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数

（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
时，
，求
的取值范围．

2016届高三理科数学期中考试 参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

C

C

C

D

B

A

C

B

C

B



13．
； 14．
； 15．
；16．

17．解：（Ⅰ）
，
，
---------------------------------------------------------------3分

。 ----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）将
的图像沿
轴向右平移
个单位得到函数
------------------------7分

因为
、
分别为该图像的最高点和最低点，所以
-------------------------------8分

所以
----------------------------------------------------------------------------------------------9分

---------------------------------------------------------------11分

所以
。-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

法2：

法3：利用数量积公式
，

18．解：（Ⅰ）因为每件商品售价为0.05万元，则
千件商品销售额为0.05×1000
万元，依题意得：当
时，
.---------2分

当
时，

所以
-------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）当
时，
，此时，当
时，
取得最大值
万元. ------------------------------------------------------------------------------------------------8分

当
时，

此时，当
时，即
时
取得最大值1000万元. ---------------------------------11分

所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

19．解：（Ⅰ）证明：由四边形
为菱形，
，可得
为正三角形．因为
为
的中点，所以
．又
，因此
．

因为
平面
，
平面
，所以
．

而
平面
，
平面
且
，

所以
平面
．又
平面
，所以
．--------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又
分别为
的中点，所以
，
，所以
．

设平面