湖南师大附中2016届高三月考试卷（二）

数学（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、若
，其中
，
，
为虚数单位，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3、设命题

，
（其中
为常数），则“
”是“命题
为真命题”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

4、给出如下四个命题：①若
，则
；②若
，则
；③若
，
，
，则
；④若
，则
．其中正确命题的个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

5、执行如图所示的程序框图，计算机输出的所有点
都在下列哪个函数的图象上（ ）

A．
B．

C．
D．

6、设不等式组
所表示的平面区域为
，若函数
的图象经过区域
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、设
，
，
，则
，
，
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知函数
（
，
，
）在一个周期内的图象如图所示，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9、设不等式组
表示的平面区域为
，在
内任取一点
，若满足
的概率大于
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、一艘海轮从
处出发，以每小时
海里的速度沿东偏南
方向直线航行，
分钟后达到
处．在
处有一座灯塔，海轮在
处观察灯塔，其方向是东偏南
，在
处观察灯塔，其方向是北偏东
，那么
、
两点间的距离是（ ）

A．
海里 B．
海里 C．
海里 D．
海里

11、设椭圆
（
）的左、右焦点分别为
、
，若椭圆上存在点
，使
，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12、如果函数
（
为自然对数的底数）的图象与直线
有公共点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则此三棱柱的表面积等于 ．

14、已知
且
，则
．

15、在平面几何里，已知直角
的两边
，
互相垂直，且
，
，则
边上的高
；拓展到空间，如图，三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两互相垂直，且
，
，
，则点
到面
的距离
．

16、在
中，
、
、
分别为角
、
、
所对的边．

若
，
，
成等差数列，则
；

若
，
，
成等比数列，则角
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过
分钟，则学校推迟
分钟上课．为此，校方随机抽取
个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如右频率分布直方图，其中时间分组为
，
，
，
，
．

求频率分布直方图中
的值；

从统计学的角度说明学校是否需要推迟
分钟上课；

若从样本单程所需时间不小于
分钟的学生中，随机抽取
人，求恰有一个学生的单程所需时间落在
上的概率．

18、（本小题满分12分）如图，四棱锥
的底面是边长为
的正方形，
底面
，
，
为
的中点，
为
上一点，且
．

证明：
平面
；

求三棱锥
的体积．

19、（本小题满分12分）数列
的首项
，前
项和
与
之间满足
（
）．

求证：数列
是等差数列；

求数列
的通项公式；

设存在正数
，使
对于一切
都成立，求
的最大值．

20、（本小题满分12分）设
，
分别为双曲线

（
，
）的左，右顶点，双曲线的实轴长为
，焦点到渐近线的距离为
．

求双曲线
的方程；

已知椭圆

（
）的焦点与双曲线

（
，
）的左右顶点重合，且离心率为
．直线

交椭圆
于
、
两个不同的点，若原点
在以线段
为直径的圆的外部，求
的取值范围．

21、（本小题满分12分）已知函数
，
，
为实常数．

求
的单调区间；

当
时，证明：
，使得
和
的图象在
处的切线互相平行．

22、（本小题满分10分）在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的极坐标方程为
．

写出曲线
与直线
的直角坐标方程；

设
为曲线
上一动点，求
点到直线
的距离的最小值．

湖南师大附中2016届高三月考试卷（二）

数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

B

B

D

D

D

A

C

A

D

B



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

13、
14、
15、
16、

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、

18、

19、

20、

21、

22、

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